Suites : représentations, arithmétiques et géométriques

Définition 

Une suite est une énumération infinie de nombres appelés termes.
Certaines suites respectent une règle donnée pour obtenir chaque nouveau terme. 

Exemple 

Note 1 : On peut aussi noter $$u(n)$$ à la place de $$u_n$$. 

Manières de les représenter 

Les suites peuvent être représentées mathématiquement (comme formule) de deux manières différentes. On peut souvent passer d’une représentation à l’autre. 

Relation explicite 

Les termes de la suite peuvent être calculés en évaluant à la valeur $$n$$​. On ne doit pas prendre en compte le terme précédent.

Exemples 

Note 2 : Les suites peuvent commencer par $$u_0$$​ ou $$u_1$$​ comme premier terme. 

Relation de récurrence 

Les nouveaux termes sont calculés grâce aux termes précédents. Il faut par exemple connaître $$u_{n-1}$$​ pour calculer $$u_{n}$$​.

Exemples 

​Suite arithmétique et suite géométrique 

Suite arithmétique 

Le nouveau terme de la suite est donné par son prédécesseur plus une valeur fixe $$d$$​. 

Une suite arithmétique représente une évolution absolue constante (accroissement constant), c’est-à-dire que la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante (elle est égale à d). On parle alors de croissance linéaire. 

Suite géométrique 

Le nouveau terme de la suite est donné par son prédécesseur fois une valeur fixe $$q$$​. 

Une suite géométrique représente une évolution relative constante (taux constant), c’est-à-dire que le quotient entre deux termes consécutifs de la suite est constant (il est égal à q). On parle alors de croissance exponentielle. 

Suite arithmétique

Exemple   $$u_n=u_{n-1}+3$$​ avec $$u_0=-2$$​​

Les termes d’une suite arithmétique se trouvent sur la droite affine d’équation $$y=dx+u_0$$​​

Suite géométrique

​ Exemple  ​ $$u_n=u_{n-1}\times2$$​ avec $$u_0=1$$ ​ ​ Les termes d’une suite géométrique se trouvent sur le graphe d’une fonction exponentielle d’équation   $$y=u_0×q^x$$​ ​.​