Suites : représentations, arithmétiques et géométriques
Définition
Une suite est une énumération infinie de nombres appelés termes.
Certaines suites respectent une règle donnée pour obtenir chaque nouveau terme.
Exemple
Note 1 : On peut aussi noter u(n) à la place de un.
Manières de les représenter
Les suites peuvent être représentées mathématiquement (comme formule) de deux manières différentes. On peut souvent passer d’une représentation à l’autre.
Relation explicite
Les termes de la suite peuvent être calculés en évaluant à la valeur n. On ne doit pas prendre en compte le terme précédent.
Exemples
un=nn+(−1)n | u1=11+(−1)1=0 | u2=12+(−1)2=3 |
Note 2 : Les suites peuvent commencer par u0 ou u1 comme premier terme.
Relation de récurrence
Les nouveaux termes sont calculés grâce aux termes précédents. Il faut par exemple connaître un−1 pour calculer un.
Exemples
un=nn+(−1)n | u1=11+(−1)1=0 | u2=12+(−1)2=3 |
Suite arithmétique et suite géométrique
Suite arithmétique
Le nouveau terme de la suite est donné par son prédécesseur plus une valeur fixe d.
Récurrent un=un−1+d | d est constant : d=un−un−1 |
Explicite un=u1+d×(n−1)
=u0+d×n |
Une suite arithmétique représente une évolution absolue constante (accroissement constant), c’est-à-dire que la différence entre deux termes consécutifs de la suite est constante (elle est égale à d). On parle alors de croissance linéaire.
Suite géométrique
Le nouveau terme de la suite est donné par son prédécesseur fois une valeur fixe q.
Récurrent un=un−1×q | q est constant : q=un−1un |
Explicite un=u1×qn−1
=u0×qn
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Une suite géométrique représente une évolution relative constante (taux constant), c’est-à-dire que le quotient entre deux termes consécutifs de la suite est constant (il est égal à q). On parle alors de croissance exponentielle.
Suite arithmétique |
Exemple un=un−1+3 avec u0=−2 |
Les termes d’une suite arithmétique se trouvent sur la droite affine d’équation y=dx+u0 |
Suite géométrique |
Exemple un=un−1×2 avec u0=1 Les termes d’une suite géométrique se trouvent sur le graphe d’une fonction exponentielle d’équation y=u0×qx . |
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