Processus de croissance ou de décroissance 

Définition 

Formule 

​$$y=y_0\times a^t$$​​

Facteur de croissance ou de décroissance 

Processus de croissance : $$a>1$$​​	Processus de décroissance : $$0<a<1$$​​

Déterminer le facteur a à partir de deux valeurs consécutives 

Avec un accroissement constant : 

Forme la fraction à partir des deux valeurs consécutives 

$$y_1=y(t_1)$$​ et $$y_2=y(t_1+1)$$​ : 

​$$\frac{y_2}{y_1}=\frac{y_0\times a^{t+1}}{y_0\times a^t }=a^{(t+1)-t}=a$$​​

Exemples 

$$y_1=3$$ et $$y_2=9$$​​

​$$a=\frac93=3$$​​

« Double » : 

​$$a=2$$​​

« Moitié » : 

​$$a=\frac12$$​​

Avec un taux constant : 

Additionne $$1$$​ au taux de croissance ou décroissance. 

Note 1 : Dans le cas de la décroissance, le taux est négatif. 

Exemple 

Croissance de 15% : 

​$$a=1+\frac{15}{100}=1,15$$​​

Décroissance de 25% : 

​$$a=1-\frac{25}{100}=0,75$$​​

Exemple  

Tu places $$500 €$$​ sur un compte avec un taux d’intérêt de $$2\%$$​ par an. Combien d’argent se trouve sur ton compte après 5 ans ? 

Identifie les données du problème : 

Calcule la valeur y : 

​$$y=k\times a^t=500\times1,02^5=\underline{552,04 €}$$​​

Exemple  

L’uranium 235 perd de sa radioactivité de manière exponentielle en suivant la loi suivante, où le temps est donné en millions d’années et $$N$$​ est la quantité d’uranium radioactif : 

​$$N=N_0\times(\frac12)^{\frac{1}{700} t}$$​​

Quel pourcentage d’uranium est toujours radioactif après 350 millions d’années ? 

Calcule le rapport entre la quantité toujours radioactive après 350 millions d’années ($$N_{350}$$​) et la quantité radioactive initiale ($$N_0$$​) en divisant par $$N_0$$: 

​$$\frac N{N_0} =(\frac12)^{\frac{1}{700}\times350}\approx0,71$$​​

Après 350 millions d’années, environ $$\underline{71\%}$$ de l’uranium est encore radioactif.