Probabilités conditionnelles : cardinal et indépendance

Définition

Probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle d’un événement aléatoire $$B$$​ est la probabilité qu’il se réalise sachant qu’un autre événement $$A$$​ est réalisé. 

Exemple 

Probabilité que Valentine tire une reine sachant qu’elle tire un habillé :

$$P_{habillé}(reine)$$​​

Cardinal

Le cardinal d’un ensemble  est le nombre d’éléments qu’il contient. Il est noté $$(E)$$​.

Exemple 

Cardinal de l’ensemble $$E=\left\{0,\ 2,\ 5\right\}\$$​:

$$card\left(E\right)=3$$​​

Calculer la probabilité conditionnelle

La probabilité conditionnelle de $$B$$​ sachant $$A$$​ est donné par l’une des formules suivantes :

$$P_A\left(B\right)=\frac{card(A\cap B)}{card(A)}=\frac{P\left(A\cap B\right)}{P\left(A\right)}$$​​

Le nombre de résultats possibles dans ce cas est modifié par la condition supplémentaire donnée par le deuxième événement.

MÉTHODE

​

Indépendance

Un événement $$B$$​ est indépendant d’un événement non nul $$A$$​ si :

$$P_A\left(B\right)=P(B)$$​​

Symétriquement, si $$B$$​ est indépendant de $$A$$​, alors $$A$$​ est également indépendant de $$B$$​ et $$P_B\left(A\right)=P(A)$$​.

Exemple

Calcule la probabilité que Valentine tire une reine si elle pioche une carte dans un jeu de poker. 

Calcule ensuite la probabilité conditionnelle qu’elle tire une reine sachant qu’elle tire un habillé.

Pour finir, détermine si le fait de tirer une reine est dépendant ou non du fait de tirer un cœur.

Calcule $$P(Reine)$$​ :

Nombre de reines : $$4$$​

Nombre total de cartes : $$52$$​

Calcule la fraction :

$$P\left(Reine\right)=\frac{4}{52}=\underline{\frac{1}{13}}\$$​​

Calcule $$P_{habillé}(reine)$$​ :

Numérateur : nombres de cartes qui sont à la fois une reine et un habillé : $$4$$​

Dénominateur : nombre d’habillés : $$12$$ ($$4$$ valets, $$4$$ reines, $$4$$​ rois)

Calcule la fraction : 

$$P_{habillé}(reine)=\frac{4}{12}=\frac13$$​​

Indépendance :

Probabilité de tirer une reine parmi les cartes de couleur cœur :

$$P_{Coeur}\left(Reine\right)=\frac{nombre\ de\ reine\ de\ coeur}{nombre\ de\ cartes\ de\ coeur}=\frac{1}{13}=P\left(Reine\right)$$​​

Tirer une reine est donc indépendant du fait de tirer un cœur.