La loi binomiale est l’une des plus importantes lois de probabilité discrète.Elle entre en jeu lorsqu’on a une expérience aléatoire sous la forme d’un schéma de Bernoulli :
Seulement deux résultats par expérience de Bernoulli sont possibles.
Les différentes expériences sont indépendantes les unes des autres.
Note : La loi binomiale d’une expérience répétéenfois etavec une probabilité de succèspse noteB(n,p).
Formules
La loi binomiale est tirée du schéma de Bernoulli.
P(X=k)=(kn)×pk×(1−p)n−k
p
Probabilité du succès
n
Nombre de répétition de l’expérience aléatoire
k
Nombre de succès
L’espérance d’une expérience suivant la loi binomiale se calcule ainsi :
E(X)=n×p
p
Probabilité du succès
n
Nombre de répétition de l’expérience aléatoire
Exemple
Un joueur de basket a une probabilité de60%de marquer un panier. Quelle est la probabilité qu'il marque8paniers sur10tirs ? Quelle est l’espérance de cette expérience?
Tableau avec les variables :
p
0,6
1−p
0,4
n
10
k
8
Calcul de la probabilité :
P(X=8)=(810)×0,68×0,42≈0,121=12,1%
Représentation dans le diagramme :
Espérance:
E(X)=10×0,6=6
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Unité 1
Loi binomiale : définitions
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Questions fréquemment posées sur les crédits
Quelle est l'espérance d'un schéma de Bernoulli ?
L'espérance d'un schéma de Bernoulli se calcule : E(X)=n×p
Quand utiliser la loi binomiale ?
La loi binomiale s'utilise lorsqu'il y a un schéma de Bernoulli. C'est à dire lorsqu'une qu'une expérience à deux issues est répétée un certain nombre de fois. De plus, les différentes étapes du schéma de Bernoulli doivent être indépendantes les unes des autres.
Quelle est la formule de la loi binomiale ?
La loi binomiale se calcule de la façon suivante : P(X=k)=(n¦k)×p^k×(1-p)^(n-k) avec n le nombre de répétitions de l'expérience aléatoire, k le nombre de succès et p la probabilité du succès. On obtient alors la probabilité d'obtenir k succès.
