Zweiklammermultiplikation berechnen

Allgemein

Bei der Multiplikation von zwei Klammern mit Strichrechnung in der Klammer gibt es ein paar Tricks, um das Lösen der Terme leichter zu machen.

Vorgehen

1.

Jedes Element der ersten Klammer mit jedem Element der zweiten Klammern multiplizieren

$(2+x)(2x+3)=2\cdot2x+2\cdot3+2x\cdot x+x\cdot3$

$=4x+6+2x^2+3x=2x^2+7x+6$

2.

Ergebnisse soweit wie möglich zusammenfassen.

Tipp: Sortiere den Term nach absteigender Potenz der Variable.

Sonderfälle

Binomische Formel (gleiche Klammern)

Die binomischen Formeln dienen als Abkürzung beim Multiplizieren von zwei Klammern und zum Faktorisieren (Klammern bilden). Wenn sie zur Anwendung kommen, dann kann mittels der Formeln die Zweiklammermultiplikation ohne Rechnen direkt vereinfacht werden.

Man nutzt sie bei zwei Klammern mit gleichen Werten:

$(a+b)(a+b)$

oder

$(a-b)(a-b)$

oder

$(a+b)(a-b)$

Formel

Beispiele

1. binomische Formel

$(a+b)^2=(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^2$

$(x+5)^2=x^2+10x+25$

2. binomische Formel

$(a-b)^2=(a-b)(a-b)=a^2-2ab+b^2$

$(x-7)^2=x^2-14x+49$

3. binomische Formel

$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

$(4-x)(4+x)=16-x^2$

Multiplizieren von Summen

Der Zweiklammeransatz dient auch als Abkürzung beim Multiplizieren von zwei Klammern und zum Faktorisieren (Klammern bilden).

Man nutzt sie bei zwei Klammern mit zwei unterschiedlichen Werten:

$(x+a)(x+b)=x^2+(a+b)x+ab$

Zahlen vor der Variable addieren und an der Stelle ohne Variable multiplizieren.

In allgemeiner Form:

$(a+b)(x+y)=ax+ay+bx+by$

Beispiel

$(x+2)(x+3)=x^2+(2+3)x+2\cdot3=\underline{x^2+5x+6}$

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Gleichung mit multiplizierten Klammern

Die Gleichung hat eine oder mehrere Klammern (mit Strichrechnung in der Klammer), welche multipliziert werden.

Vorgehen

1.	Klammern auflösen durch: Ausmultiplizieren, Binomische Formel, oder Zweiklammeransatz
2.	Alle Variablen auf eine Seite bringen. *Hinweis:* Die Variable hoch 2 fällt typischerweise weg.
3.	Alle Zahlen auf eine Seite bringen.
4.	Variable alleine stellen.

Beispiel

Löse die folgende Gleichung:

$(x+1)^2=x\cdot(x+4)-15$ 

Verwende auf der linken Seite die 1. Binomische Formel und auf der rechten Seite das normale Ausmultiplizieren der Klammer:

$\begin{aligned}(x+1)^2&=x\cdot(x+4)-15\\x^2+2x+1&=x^2+4x-15\quad&&|-x^2-4x\\-2x+1&=-15\quad&&|-1\\-2x&=-16\quad&&|:(-2)\\x&=\underline{8}\end{aligned}$ 