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Grundoperationen mit Brüchen

Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

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Bruchterme vereinfachen: Vorgehen & Beispiele

Ziel es ist, den gegebenen Term so kurz und einfach wie möglich zu machen.


Vorgehen

1.

Klammern auflösen.

2.

Brüche vereinfachen:

                     I.            Divisionen mit Brüchen auflösen (Kehrbruch).

                   II.            Brüche kürzen.

                  III.            Brüche zusammenrechnen (Strichrechnungen und 

                 Multiplikation auflösen).

                 IV.            Nochmals kürzen.

3.

Term zusammenfassen.


Hinweis: 

Um Brüche die Terme enthalten zu kürzen empfiehlt es sich Binomische Formeln anzuwenden, die Terme durch ausklammern von einzelnen Termen zu faktorisieren oder den Zweiklammeransatz zu verwenden.


Beispiel 1
Beispiel 2

Vereinfache den Term:

8a23:4a15(11a2a)\frac{8a^2}{3}: \frac{4a}{15}-(11a-2a)​​

Klammer auflösen:

=8a23:4a159a=\frac{8a^2}{3}: \frac{4a}{15}-9a​​

Division auflösen:

=8a23154a9a=\frac{8a^2}{3} \cdot \frac{15}{4a}-9a​​

Kürzen:

=2a1519a=\frac{2a}{1} \cdot \frac{5}{1}-9a​​

Subtrahieren:

=10a9a=a=10a-9a=\underline{a}​​

Vereinfache den Term:

8a4b15st:12a6b45s2t+4a5\frac{8a-4b}{15st}: \frac{12a-6b}{45s^2t} + \frac{4a}{5}​​

Division auflösen:

=8a4b15st45s2t12a6b+4a5=\frac{8a-4b}{15st} \cdot \frac{45s^2t}{12a-6b} + \frac{4a}{5}​​

Kürzen:

=4(2ab)15st45s2t6(2ab)+4a5=\frac{4(2a-b)}{15st} \cdot \frac{45s^2t}{6(2a-b)} + \frac{4a}{5}


=41545s6+4a5=\frac{4}{15} \cdot \frac{45s}{6} + \frac{4a}{5}


=2s+4a5=2s + \frac{4a}{5}​​​​


Brüche zusammenrechnen.

=4a5+10s5=4a+10s5=\frac{4a}{5}+\frac{10s}{5}=\underline{\frac{4a+10s}{5}}​​






Bruchterme mit Strichrechnung

Wenn sich Variablen im Nenner nicht wegkürzen und in der Rechnung weitere Additionen oder Subtraktionen enthalten sind, müssen die Brüche gleichnamig gemacht werden, bevor sie addiert werden können. 

Dies ist äquivalent zum Addieren und Subtrahieren von Brüchen ohne Variable im Nenner. Bei der Wahl des gemeinsamen Nenners reicht es aus, wenn von jeder Variable die höchste vorkommende Potenz im gemeinsamen Nenner steht.

 


Beispiel

Folgender Term soll vereinfacht werden

153xy+10y2\frac{15}{3xy}+\frac{10}{y^2}​​

Gleichnamiger Nenner:

=15y3xy2+30x3xy2=\frac{15y}{3xy^2}+\frac{30x}{3xy^2}​​

Zusammenfassen:

=15y+30x3xy2=\frac{15y+30x}{3xy^2}​​

Kürzen:

=5y+10xxy2=\underline{\frac{5y+10x}{xy^2}}



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