Representação de funções através de gráficos

Pares ordenados

Dados dois conjuntos $$A$$​ e $$B$$​ e elementos $$a\in A$$​ e $$b\in B$$​, o símbolo $$(a,b)$$​ designa-se o par ordenado cujo primeiro elemento é $$a$$​, e o segundo elemento é $$b$$​.

Dois pares ordenados $$(a,b)$$​ e $$(c,d)$$​ são iguais quando (e apenas quando) $$a=c$$ e $$b=d$$​.

Exemplo

Se $$a$$​ e $$b$$​ forem números racionais, $$\left(a,\dfrac{6}{7}\right)$$​ e $$\left(-2,b\right)$$​ são dois pares ordenados. Temos que $$\left(a,\dfrac{6}{7}\right)=\left(-2,b\right)$$​ se e só se $$a=-2$$​ e $$b=\dfrac{6}{7}$$.

Gráfico de uma função

Dada uma função $$f\colon A \to B$$​, o gráfico de $$f$$​ é o conjunto de pares ordenados da forma

​$$G_f=\{(x,y),\ \mathrm{onde}\ x\in A,y\in B\ \mathrm{e}\ y=f(x)\}$$​​

Assim, cada elemento do gráfico de $$f$$​ é da forma $$(x,f(x))$$​ para um valor $$x\in A$$​.

Exemplo

Considera a função $$g\colon A \to B$$ dada pelo diagrama de setas abaixo.

O gráfico de $$g$$ é então o conjunto

 $$G_g=\{(2,1),(3,2),(5,2),(7,4)\}$$​​

Nota: À primeira variável destes pares ordenados (ou seja, a variável que assume valores em $$A$$​) chamamos de variável independente. À segunda variável (a que assume valores em $$B$$​) chamamos de variável dependente.

Exemplo

Podes pensar numa função $$a\colon \Z\to \mathbb{Q}$$ que te dá a área de um quadrado em função do comprimento do seu lado. Neste caso, a variável independente é o comprimento do lado, e a variável dependente é a área do quadrado.​

Nota: Por definição de função, não podem existir dois pares ordenados que pertençam ao gráfico da função e que tenham o mesmo valor na variável independente.

Funções numéricas e gráfico cartesiano

Uma função $$f\colon A \to B$$​ diz-se:

• numérica se $$B$$​ é um subconjunto de $$\mathbb{Q}$$;
  
• de variável numérica se $$A$$​ é um subconjunto de $$\mathbb{Q}$$​;
• numérica de variável numérica se $$A$$​ e $$B$$​ são subconjuntos de $$\mathbb{Q}$$​.

Exemplo

A função $$g\colon A\to B$$ definida no exemplo acima é uma função numérica de variável numérica.

Dada uma função numérica de variável numérica $$f$$​, o seu gráfico cartesiano é a representação gráfica do conjunto $$G_f$$​ no plano.

Mais concretamente, o gráfico cartesiano de $$f$$​ é o conjunto $$G$$ de pontos do plano definido da seguinte forma: $$P(x,y)\in G$$​ se $$x\in A$$​, $$y\in B$$​ e $$y=f(x)$$​.

A expressão $$y=f(x)$$​ designa-se a equação de $$G$$​.

Exemplo

Se considerares de novo a função $$g\colon A \to B$$ dada pelo diagrama de setas do primeiro exemplo, o gráfico cartesiano de $$g$$ é dado por:

Gráfico de uma função com domínio $$\mathbb{Q}$$

Para simplificar o desenho do gráfico de uma função de domínio $$\mathbb{Q}$$, representa-se o gráfico com uma linha que une todos os pontos transformados pela função.

Exemplo

Considera a função $$h\colon \mathbb{Q}\to \mathbb{Q}$$ dada por $$h(x)=x^2$$. Vamos calcular alguns valores desta função:

Como podes calcular o valor da função $$h$$​ para qualquer racional, representar o seu gráfico cartesiano com pontos individuais torna-se muito difícil! De facto, terias de desenhar pontos no plano que estivessem arbitrariamente próximos uns dos outros. Por esta razão, quando temos uma função com domínio $$\mathbb{Q}$$​, representamos o seu gráfico cartesiano por uma linha que "une todos os pontos" que verificam a função.