Funções: Conceito, domínio e contradomínio

Explicação

O conceito de função é dos mais importantes em toda a Matemática. Uma função expressa uma correspondência especial entre dois conjuntos. Por sua vez, a existência de funções entre certos conjuntos permite-nos inferir características sobre eles mesmos.

Definição

Dados dois conjuntos $$A$$ e $$B$$, uma função (ou aplicação) $$f$$​ de $$A$$​ em $$B$$​ é uma correspondência entre os elementos de $$A$$​ e os elementos de $$B$$ com o seguinte requisito: a cada elemento de $$A$$ corresponde um e só um elemento de $$B$$​. Se $${x\in A},$$ escrevemos $$f(x)$$ para o elemento de $$B$$ a qual $$x$$ corresponde. Representamos a função $$f$$ pelo símbolo $$f\colon A \to B$$.

Exemplo

Imagina que trabalhas numa pastelaria que vendes cada café a $$50$$​ centimos, e queres definir uma função que transforme o número de cafés vendidos na receita efetuada. Se definires o conjunto $$A$$​ como o número de cafés vendidos e o conjunto $$B$$​ como a receita em Euros, podes expressar a função desejada através do seguinte diagrama de setas:

No dia internacional do café (dia 1 de outubro), a pastelaria faz uma promoção que consiste na oferta de um café na compra de dois. Nesse dia, a função é:

Domínio e contradomínio

Dada uma função $$f\colon A \to B$$, diz-se que $$A$$ é o domínio de $$f$$​ e $$B$$ é o seu conjunto de chegada. Utilizamos o símbolo $$D_f$$​ para o domínio. Aos elementos do domínio chamamos objetos.

Se $$y$$​ é um elemento de $$B$$​, $$y$$​ diz-se a imagem de $$x\in A$$​ se $$y=f(x)$$​. Ao conjunto das imagens de $$f$$​ dá-se o nome de contradomínio, e denotamo-lo por $$D'_f$$​, $${CD}_f$$​ ou $$f(A)$$​.

Exemplo

Considera os conjuntos $$A=\{1,2,3,4\}$$​ e $$B=\{10,15,20,25,30,35,40\}$$​ e a função $$f\colon A\to B$$ dada pelo diagrama de setas abaixo.

Temos que $$D_f=A$$​, o conjunto de chegada de $$f$$​ é $$B$$​ e $$D'_f=\{10,20,30,40\}$$​. Ao objeto $$2$$​ corresponde a imagem $$20$$. Lemos a expressão matemática $$f(2)=20$$​ como "$$f$$ de $$2$$ é $$20$$" ou "a imagem de $$2$$ é $$20$$".