Razões trigonométricas de um ângulo agudo

Lados de um triângulo retângulo

Definição

Num triângulo retângulo com um ângulo agudo $\alpha$, como o da imagem, os lados têm os seguintes nomes:

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Seno, cosseno e tangente

Definição

Num triângulo retângulo com um ângulo agudo $\alpha$​ existem as seguintes razões trigonométricas:

Relativamente ao triângulo da imagem, tem-se que:

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Nota 1: Por semelhança de triângulos, ângulos de amplitude igual terão as mesmas razões trigonométricas.

Nota 2: As razões inversas do seno, cosseno e tangente chamam-se arco seno ($\arcsin$ ou $\sin^{-1}$), arco cosseno ($\arccos$​ ou $\cos^{-1}$​) e arco tangente ($\arctan$ ou $\tan^{-1}$). Estas dão-te a amplitude do ângulo, a partir do valor da razão trigonométrica em questão.

Relação entre as razões trigonométricas

Conhecem-se várias relações entre o seno, cosseno e tangente, que te podem ajudar a simplificar termos e a resolver equações.

Exemplo

Utilizando a figura acima, calcula o seno, cosseno e tangente do ângulo $\alpha$, sabendo que $b=5$​ e $c=10$​.

Como conheces os valores do cateto oposto ao ângulo ($b$) e da hipotenusa ($c$​), podes começar por calcular o seno:

De seguida, podes calcular o valor do cosseno a partir da fórmula fundamental da trigonometria:

E por fim podes usar a relação entre a tangente, o seno e o cosseno para calcular a tangente de $\alpha$:

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Razões trigonométricas de 30º, 45º e 60º

Algumas razões trigonométricas têm valores exatos conhecidos que podes usar em cálculos, sem necessitar de calculadora. É o caso para os ângulos de $30º$​, $45º$​ e $60º$:

Exemplo

Toma novamente o exemplo acima e calcula o ângulo $\alpha$.

Sobre este ângulo, já sabes que:

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Por observação da tabela, podes então concluir que $\underline{\alpha = 30º}$.