Área da superfície e volume de uma pirâmide

Volume

O volume de uma pirâmide, $$V_\text{pirâmide}$$​, é igual a um terço do produto da área da sua base, $$A_\text{base}$$​, pela sua altura, $$h$$​:

​$$V_\text{pirâmide} = \cfrac{1}{3} A_\text{base}\times h$$

Exemplo

Queres saber o volume da grande pirâmide quadrangular do Egito!
Sabes que a base tem $$b = 230\ m$$​​ de lado e a altura é $$h = 150\ m$$​​.

Como a pirâmide é quadrangular, ​$$A_\text{base} = b \times b = 230\ m\times230\ m = 52\ 900\ m^2$$.

Por fim, sabes que o volume é:

​$$V_\text{pirâmide} = \cfrac{1}{3} A_\text{base} \times h = \cfrac{1}{3} \times 52\ 900\ m^2 \times150\ m = \boxed{2\ 645\ 000\ m^3}$$​

Nota: A fórmula para o volume é válida para pirâmides regulares e não regulares, independentemente da forma da base e do número de faces laterais!

Área de superfície

A área de superfície de uma pirâmide é a soma das áreas das suas faces.

Procedimento

​

Exemplo​

Agora, queres calcular a área de superfície da pirâmide do exemplo anterior.

Para isso, tens de somar a área da base com as áreas dos triângulos laterais!

mais​​

Calculaste no exemplo anterior a área da base: $$A_\text{base} = 52\ 900\ m^2$$.

Antes de calculares a área do triângulo lateral, tens de descobrir a sua altura $$a$$​, como vês na figura abaixo. Para isso, podes usar o teorema de Pitágoras

$$a = \sqrt{\left(\frac{b}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\left(\frac{230}{2}\right)^2 + 150 ^2}\ m \approx 189 \ m$$.

Assim, a área do triângulo lateral é $$A_\text{triângulo} = \cfrac{b\times a}{2} \approx \cfrac{230\ m \times 189\ m}{2} \approx 21\ 735\ m^2$$​​

Finalmente, obténs a área de superfície total:

$$A_\text{total} = A_\text{base} + A_\text{lateral} = A_\text{base} + 4 \times A_\text{triângulo} \approx \boxed{139\ 840\ m^2}$$​​

Nota: Não confundas a altura da pirâmide, usada para calcular o seu volume, com a altura das faces laterais, usada para calcular a área dessas faces!