Determinação de aproximações e erros

​​Explicação

Ao aproximar um número $$x$$​ (afirmando que ele é, aproximadamente, $$x'$$​), comete-se um erro, que será no máximo $$r$$ (o erro máximo). Assim, esta aproximação vai estar sempre no intervalo $$]x-r,x+r[$$.

Exemplo

Numa aproximação do número $$4$$ com erro máximo de $$0{,}5$$, o número aproximado que escolhermos poderá estar entre $$4-0{,}5$$ e $$4+0{,}5$$. Ou seja, no intervalo, o número está no intervalo

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$$]4-0{,}5;4+0{,}5[\ =\ ]3{,}5;4{,}5[$$

Em particular, se aproximarmos o número para $$4{,}3$$, o erro é de $$4{,}3-4=0{,}3$$.

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O erro e as operações

É possível calcular o erro na aproximação da soma, produto e raiz de números se conhecermos as suas aproximações.

​​Adição

O erro máximo da soma de duas aproximações é a soma do erro máximo de cada uma delas.

Exemplo

Se a aproximação do número $$a$$ tem erro máximo $$0,2$$​ e a aproximação de $$b$$ tem erro máximo $$0,5$$, a aproximação de $$a+b$$ tem erro máximo de $$0,2+0,5=\underline{0,7}$$.

Multiplicação

Para a multiplicação, o cálculo do erro máximo realiza-se caso a caso, através de uma inequação.

PROCEdimento

Exemplo

Se a aproximação de um número for $$3$$ e foi feita com um erro inferior a $$0{,}4$$, e a aproximação de outro número for $$6$$ foi feita com um erro inferior a $$0{,}5$$, então qual o erro cometido ao considerar $$3\times6=18$$ como multiplicação desses dois números?

1.

$$3-0{,}4<x<3+0{,}4 \Leftrightarrow 2{,}6<x<3{,}4$$

$$6-0{,}5<y<6+0{,}5 \Leftrightarrow 5{,}5 <y<6{,}5$$

2. Assim: 

$$2{,}6\times5{,}5<xy<3{,}4\times6{,}5 \Leftrightarrow 14{,}3<xy<22{,}1$$

3. Calculando a diferença dos dois limites, tem-se o erro: $$r=22{,}1-14{,}3=7{,}8$$.​​

Raiz quadrada

Para descobrir a raiz quadrada do erro, é necessário seguir um conjunto de passos específico.

procedimento

Exemplo

Enquadra $$\sqrt{3}$$ com erro inferior a $$0,25$$.

1. $$\frac{1}{0,25}= \frac{1}{\frac{1}{4}} = 4$$​

2. $$3\times4^2=3\times12=48$$​

3. O quadrado perfeito imediatamente abaixo de ​ é ​ e o imediatamente acima é $$48$$$$36$$$$49$$​. Assim:

$$36<3\times4^2<49 \Leftrightarrow 6^2<3\times4^2<7^2 \Leftrightarrow (\frac{6}{4})^2<3<(\frac{7}{4})^2 \Leftrightarrow \frac{6}{4}<\sqrt{3}<\frac{7}{4}$$

4. O erro é então de: $$r=\frac{7}{4}-\frac{6}{4}=\frac{1}{4}$$​

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