Fatorização e decomposição de polinómios

Definição

Fatorizar um polinómio é escrever esse polinómio como um produto de polinómios, sendo pelo menos um destes fatores não constante e de grau inferior ao polinómio original.

Exemplo

Considera o polinómio $4x^3+4x$ .

Este polinómio também pode ser escrito nas formas $x(4x^2+4)$ ou $4x(x^2+1)$ , que são efetivamente fatorizações possíveis do polinómio original.

Por outro lado, este polinómio pode ainda ser escrito na forma $4(x^3+x)$ , mas esta não é, segundo a definição, uma fatorização. Nota que o fator $4$  é constante e o fator $x^3+x$  é de grau 3, tal como o polinómio original (isto é, nenhum dos dois fatores é simultaneamente não constante e de grau inferior ao grau do polinómio original).

Deste modo, a fatorização é um processo que permite escrever polinómios como um produto de fatores mais simples.

Métodos para fatorizar um polinómio

Procedimento

1.	Começa por colocar em evidência as potências comuns da parte literal. Escolhe as potências de maior expoente, de modo a obter uma fatorização mais simples.
2.	Identifica binómios que correspondam a diferenças de quadrados.
3.	Identifica trinómios que correspondam a quadrados de binómios.

Nota: Os passos 2 e 3 podem ser executados por ordem contrária. Além disso, repara que cada um destes passos não é sempre necessariamente executável. Por exemplo, pode não ser possível colocar fatores em evidência.

Exemplos

${x^2y+xy^2=xy(x+y)}$	O fator $xy$ é comum aos dois termos, pelo que pode ser colocado em evidência.
${x^2+2x+1=(x+1)^2}$	Não é possível identificar fatores comuns para colocar em evidência, mas a expressão original é um caso notável (quadrado de um binómio).
${\begin{aligned}2x^3-2x &=2x(x^2-1)\\&=2x(x+1)(x-1)\end{aligned}}$	Coloca-se o fator $2x$ em evidência e verifica-se que o fator restante ainda pode ser simplificado, por ser um caso notável (diferença de quadrados).

Nota: Por vezes, não é possível fatorizar um polinómio.

Exemplo

O polinómio $x^2+1$ não pode ser fatorizado, já que não existem fatores comuns que possam ser colocados em evidência e não é possível identificar nenhum caso notável da multiplicação de polinómios (não é uma diferença de quadrados porque os termos têm igual sinal e, por não ser um trinómio, não é certamente o quadrado de nenhum binómio).