Método axiomático e geometria euclidiana

Definição

O método axiomático é uma maneira de, a partir de alguns enunciados que assumimos como verdadeiros (os "axiomas"), formar um conjunto de proposições, ou sistemas. A partir dos axiomas, as proposições são deduzidas usando regras lógicas.

A Matemática utiliza bastante o método axiomático, enquanto para as ciências experimentais, tais como a Física, a Química e a Biologia, este método perde importância.

Geometria euclidiana

Todos os problemas de geometria que tens vindo a resolver são problemas de geometria euclidiana. Este sistema de geometria tem determinados axiomas que outros sistemas de geometria (tais como a geometria esférica) não usa. A geometria euclidiana tem cinco axiomas/postulados. Quatro destes parecerão óbvios, mas o quinto foi debatido durante mais de $$16$$​ séculos!

Exemplo:

Considera a imagem seguinte, com $$\alpha=70º$$ e $$\beta=85º$$. Vais provar pelo 5º postulado de Euclides que as retas $$a$$​ e $$b$$ não são paralelas.

Como diz o postulado, tens de ver qual é a soma dos ângulos internos que $$a$$ e $$b$$​ fazem com a reta secante $$s$$.

O ângulo interno que $$a$$​ faz com $$s$$ tem a mesma amplitude que $$\alpha$$, e o ângulo interno que $$b$$ faz com $$s$$ é o suplementar de $$\beta$$ e tem, por isso, amplitude $$180º-\beta=180º-85º=95º$$.

Somando então os ângulos interiores, obténs:

$$70\degree + 95\degree = 165\degree < 180\degree$$​

Como a soma é menor que $$180\degree$$, as retas intersetar-se-ão se prolongadas o suficiente, o que quer dizer que não são paralelas!

Axioma euclidiano de paralelismo

Posidónio (séculos II a I, a.C.) rescreveu axioma 5 de forma mais simples: "Por um ponto $$P$$, fora de uma reta $$r$$, passa uma única reta paralela a $$r$$."

Foi nesta forma que o 5º axioma ficou conhecido como o axioma euclidiano do paralelismo.