Área da superfície e volume de um cone

Volume do cone

O volume de um cone, $V_\text{cone}$​, é igual a um terço do produto da área da sua base, $A_\text{base}$​, pela sua altura, $h$​:

​$V_\text{cone} = \cfrac{1}{3}\times A_\text{base} \times h$

em que $A_\text{base} = \pi r^2$​ é a área do círculo da base de raio $r$​.

Nota: Repara que as fórmulas para $V_\text{cone}$ e $V_\text{pirâmide}$ são iguais! Uma pirâmide regular com muitas faces laterais aproxima-se de um cone. Logo, isto faz sentido!

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Exemplo

Um cone de raio $r = 2\ cm$ e altura $h = 1\ cm$ tem $A_\text{base} = \pi r^2 = 4 \pi \ cm^2$ e volume

$V_\text{cone} = \cfrac{1}{3} \times A_\text{base} \times h = \frac{1}{3} \times 4 \pi \ cm^2 \times 1\ cm = \boxed{\cfrac{4\pi}{3} \ cm^3}$​​

Área da superfície do cone

A área da superfície de um cone é igual à soma da área da sua base com a área da sua superfície lateral. Considera um cone com base de raio $r$​, altura $h$​ e geratriz $l$. A área da superfície lateral, $A_\text{lateral}$, é a área da secção circular de raio $l$ que vês na figura.

Fazemos uma regra de três simples para descobrir $A_\text{lateral}$. A área de um círculo de raio $l$ está para o seu perímetro assim como $A_\text{lateral}$ está para o comprimento do arco da superfície lateral, que é o perímetro da base circular. Ou seja:

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Logo:

​$A_\text{lateral} = \cfrac{\pi l^2 \times 2 \pi r}{2 \pi l} = \pi r l$​​

Como $A_\text{base} = \pi r^2$​, obtemos $A_\text{superfície cone} = A_\text{base} + A_\text{lateral} = \pi r^2 + \pi r l$​.

Nota: A fórmula para $A_\text{lateral}$ não é válida para um cone oblíquo, pois a sua superfície lateral não é uma secção circular. Já a fórmula para $V_\text{cone}$​ é válida para qualquer cone!

Exemplo

Vamos calcular a área de superfície do mesmo cone do exemplo anterior.

A geratriz é $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{5} \ cm$ e a área da base é $A_\text{base} = 4\pi\ cm^2$.

A área da superfície lateral é $A_\text{lateral} = 2 \sqrt{5}\ \pi \ cm^2$ e a área de superfície total é

$A_\text{superfície cone} = A_\text{base} + A_\text{lateral} = 4\pi\ cm^2 + 2 \sqrt{5} \pi\ cm^2 = \boxed{(4 + 2 \sqrt{5}) \pi\ cm^2}$

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