Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Definition

Bei der zentrischen Streckung wird eine Figur verkleinert, vergrößert und/oder gespiegelt. Verbindet man mehrere Originalpunkte mit ihren Bildpunkten, so treffen sich die Verbindungslinien immer in einem Punkt, dem Streckzentrum Z.

Mathematik; Strahlensätze; 8. Klasse Gymnasium; Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Mathematik; Strahlensätze; 8. Klasse Gymnasium; Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Eigenschaften gestreckter Figuren

Winkel bleiben gleich.
Längenverhältnisse bleiben gleich.
Original- und Bildseiten sind parallel.
Bildfigur ist um $180\degree$ gedreht, wenn das Streckzentrum zwischen den Figuren liegt.

Streckfaktor k

$k=\frac{Bildlänge}{Originallänge}$

Der Streckfaktor $k$ ist das Verhältnis zwischen:

Seitenlängen von Original- und Bildfigur

und

$k=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$

Abständen vom Streckzentrum zu Original- und Bildfigur

$k=\frac{\overline{Z'B'}}{\overline{ZB}}$

Negative Streckfaktor

Der Streckfaktor ist negativ definiert, wenn die Bildfigur auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums liegt.

Umkehrung des Streckfaktors

Bildfigur zur Originalfigur (Kehrwert):

$k_{Umkehrung}=\frac 1 k$

Flächen und Volumen

Flächenänderung:

$F_{Bild}=F_{Original}\cdot k^2$

Volumenänderung:

$V_{Bild}=V_{Original}\cdot |k|^3$

Beachte: Hier ist der Streckfaktor im Betrag, da, falls $k<0$ ist, das Volumen trotzdem immer positiv sein muss.

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Streckfaktor bestimmen

Vorgehen

1.

Bestimme

eine Länge der Originalfigur; oder
den Abstand von einem Punkt der Originalfigur zum Streckzentrum.

2.

Bestimme die entsprechende Länge der Bildfigur.

3.

Berechne das Verhältnis der Bildlänge zur Originallänge.

Beachte: Liegt jeder Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums, so ist der Streckfaktor negativ.

Bildfigur zeichnen

Vorgehen

1.	Zeichne jeweils eine Linie durch jeden Punkt der Originalfigur und das Streckzentrum.
2.	Bestimme die Abstände der Punkte der Bildfigur vom Streckzentrum.
3.	Zeichne mit dem Streckfaktor alle Bildpunkte und Linien der Bildfigur ein.

Beachte beim Strecken eines Kreises: Bestimme die Position des Mittelpunkts und bestimme auch den Radius mit dem Streckfaktor.