Zentrische Streckung & Streckfaktor bestimmen

Definition

Bei der zentrischen Streckung wird eine Figur verkleinert, vergrößert und/oder gespiegelt. Verbindet man mehrere Originalpunkte mit ihren Bildpunkten, so treffen sich die Verbindungslinien immer in einem Punkt, dem Streckzentrum Z.

Eigenschaften gestreckter Figuren

• Winkel bleiben gleich.
  
• Längenverhältnisse bleiben gleich.
  
• Original- und Bildseiten sind parallel.
  
• Bildfigur ist um $$180\degree$$​ gedreht, wenn das Streckzentrum zwischen den Figuren liegt.
  

Streckfaktor k

​$$k=\frac{Bildlänge}{Originallänge}$$​​

Der Streckfaktor $$k$$​  ist das Verhältnis zwischen:

​

Negative Streckfaktor

Der Streckfaktor ist negativ definiert, wenn die Bildfigur auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums liegt.

Umkehrung des Streckfaktors

Bildfigur zur Originalfigur (Kehrwert):

​$$k_{Umkehrung}=\frac 1 k$$​​

Flächen und Volumen

Flächenänderung:

​$$F_{Bild}=F_{Original}\cdot k^2$$​​

Volumenänderung:

​$$V_{Bild}=V_{Original}\cdot |k|^3$$​​

Beachte: Hier ist der Streckfaktor im Betrag, da, falls $$k<0$$​  ist, das Volumen trotzdem immer positiv sein muss.

Vorgehen bei typischen Aufgaben

Streckfaktor bestimmen

Vorgehen

Beachte: Liegt jeder Bildpunkt auf der gegenüberliegenden Seite des Streckzentrums, so ist der Streckfaktor negativ.

Bildfigur zeichnen

Vorgehen

Beachte beim Strecken eines Kreises: Bestimme die Position des Mittelpunkts und bestimme auch den Radius mit dem Streckfaktor.