Kombinatorik: Wahrscheinlichkeiten kombinieren
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Zusammenfassung
Kombinatorik: Wahrscheinlichkeiten kombinieren
Definition
Die Kombinatorik behandelt die mögliche Anzahl an Kombinationen von Elementen (z. B. Dinge oder Personen).
Grundlagen der Kombinatorik
Anzahl Kombinationen
Mehrere Elemente sollen kombiniert werden. Bei jeder weiteren Auswahl muss überlegt werden, aus wie vielen möglichen Elementen man wählen darf.
Die mögliche Anzahl an Kombinationen von Elementen erhält man durch die Multiplikation der Auswahlmöglichkeiten bei jeder Auswahl.
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: Auswahlmöglichkeiten bei der ersten Auswahl |
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: Auswahlmöglichkeiten bei der zweiten Auswahl | |
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: Auswahlmöglichkeiten bei der nächsten Auswahl |
Vorgehen
| 1. | Bestimme für jede Auswahl die Anzahl der Möglichkeiten |
| 2. | Multipliziere die Anzahl der Möglichkeiten |
Beispiel
Eine Gruppe von Schülern will ein Team aus Spielern zusammenstellen.
Wie viele mögliche Teams gibt es?
Möglichkeiten pro Auswahl:
| Erste Auswahl |
| Man kann aus Schülern wählen. |
| Zweite Auswahl |
| Man kann nur noch aus Schülern wählen. |
| Dritte Auswahl |
| Man kann nur noch aus Schülern wählen. |
| Vierte Auswahl |
| Man kann nur noch aus Schülern wählen. |
Möglichkeiten insgesamt:
Darstellung
Folgende Strukturen helfen dabei, alle Möglichkeiten einer Fragestellung übersichtlich darzustellen.
Als Tabelle
Jede Zeile steht für eine mögliche Kombination.
Variiere in jeder weiteren Zeile die Elemente nach dem gleichen Muster.
Die Tabellen-Darstellung ist gut für:
- Wenige Elemente
- Wenige Einschränkungen / Bedingungen für die Kombinationen
Beispiel
Zahlen aufreihen:
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Als Baum
Gleicher Aufbau wie bei der Baumdarstellung bei Wahrscheinlichkeiten:
- Jede Stufe steht für eine Auswahl
- Alle Knoten nach dem Startknoten stehen für mögliche Elemente einer Auswahl
Beispiel: Wähle zweimal hintereinander zwischen den Optionen A, B und C
Baum-Darstellung ist gut für:
- Viele Elemente
- Viele Einschränkungen / Bedingungen für die Kombinationen
- Entscheidungsprozesse
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Häufig gestellte Fragen (FAQ)
Was wird in der Kombinatorik behandelt?
Die Kombinatorik ist ein Teilgebiet der Mathematik, das sich damit beschäftigt, wie viele verschiedene Kombinationsmöglichkeiten es für das Auftreten eines bestimmten Ereignisses gibt.
Was gibt der Binomialkoeffizient an?
Der Binomialkoeffizient gibt an, wie viele Möglichkeiten es gibt, k Elemente aus einer Anzahl von n Elementen auszuwählen, wenn die Reihenfolge, in der die Elemente ausgewählt werden, nicht beachtet werden soll.
Wie berechnet man die Fakultät einer Zahl?
Um die Fakultät einer Zahl zu berechnen, multipliziert man alle natürlichen Zahlen bis zu der Zahl, deren Fakultät man berechnen möchte, miteinander. Mathematisch kennzeichnet man die Berechnung der Fakultät mit einem "!". Beispiel: 5!=1*2*3*4*5=120
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