Fórmulas trigonométricas: Conceito e aplicação

Fórmula fundamental da trigonometria

Esta fórmula é muito importante para conseguires fazer cálculos trigonométricos. Por essa razão, denomina-se Fórmula fundamental da trigonometria:

​$$\cos^2\alpha+\sin^2\alpha=1$$​​

​Fórmula derivada da fórmula fundamental da trigonometria:

A partir da Fórmula fundamental da trigonometria consegues, por exemplo, chegar a uma fórmula que não envolva o seno. Se dividires todos os membros da fórmula original por $$\cos \alpha$$, obténs:

$$\dfrac {\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha}+\dfrac {\sin^2\alpha}{\cos^2\alpha}=\dfrac {1}{\cos^2\alpha}$$​​

​$$1+\tan^2 \alpha=\cfrac{1}{\cos^2\alpha}$$​​

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Exemplo

Sabendo que $$\sin x = \dfrac{3}{5}$$​, qual é o $$\cos x$$?

​$$\begin{aligned}&\cos^2 x + \sin^2 x = 1 \Leftrightarrow \cos x = \sqrt{1-\sin^2 x} \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow &\cos x = \sqrt{1-\left(\dfrac{3}{5}\right)^2} \Leftrightarrow \cos x = \sqrt{\dfrac{16}{25}} \Leftrightarrow \boxed{\cos x = \dfrac{4}{5}}\end{aligned}$$​​

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Relação entre as funções trigonométricas de $$\alpha$$​ e de $$\alpha + 2k\pi$$​

Como as funções trigonométricas são periódicas, os seus parâmetros repetem-se a cada $$2\pi$$:

​$$\begin{aligned}\sin(\alpha+2k\pi) &= \sin\alpha\\\cos(\alpha+2k\pi) &= \cos\alpha \qquad \text{para }\ k\in\mathbb{Z}\\\tan(\alpha+2k\pi) &= \tan\alpha\end{aligned}$$​​

Exemplo

​$$\cos(0{,}45+1000\pi) = \boxed{\cos(0{,}45)}$$​​

Relação entre as funções trigonométricas de $$\alpha$$ e de $$-\alpha$$ e $$\pi\pm\alpha$$

Se desenhares a circunferência trigonométrica, percebes que, para o seno, terás:

​$$\begin{aligned}\sin(\pi-\alpha) &= \sin\alpha\\\sin(\pi+\alpha) &= - \sin\alpha\\\sin(-\alpha) &= - \sin\alpha\end{aligned}$$​​

Para o cosseno:

​$$\begin{aligned}\cos(\pi-\alpha) &= - \cos\alpha\\\cos(\pi+\alpha) &= - \cos\alpha\\\cos(-\alpha) &= \cos\alpha\end{aligned}$$​​

Para a tangente:

​$$\begin{aligned}\tan(\pi-\alpha) &= - \tan\alpha\\\tan(\pi+\alpha) &= \tan\alpha\\\tan(-\alpha) &= -\tan\alpha\end{aligned}$$​​

Exemplo

Relação entre as funções trigonométricas de $$\alpha$$​ e $$\frac{\pi}{2}\pm\alpha$$​

​$$\begin{aligned}\sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) &= \cos\alpha \\\cos\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) &= -\sin\alpha \\\sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) &= \cos\alpha \\\cos\left( \frac{\pi}{2} -\alpha \right) &= \sin\alpha \\\end{aligned}$$​​

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Nota: Observa que a função cosseno é igual à função seno transladada para a esquerda por $$\pi/2$$!

Exemplo

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