Espaço de probabilidade e axiomática de Kolmogorov

Axiomática de Kolmogorov

Considera $$E$$ um espaço amostral associado a uma experiência aleatória. Seja $$P$$ uma função que a cada acontecimento $$A$$​ faz corresponder a sua probabilidade de acontecer, $$P(A)$$.​

Nota: Quando $$E$$ é um conjunto finito, considera-se que o domínio da função $$P$$ é o conjunto dos subconjuntos de $$E$$, $$\mathscr{P}(E)$$. E diz-se que $$(E, \mathscr{P}(E), P)$$ é um espaço de probabilidade.

Exemplo

Considera uma experiência aleatória que consiste no lançamento de uma moeda ao ar duas vezes consecutivas.

​$$E=\{(\mathrm{coroa}, \mathrm{coroa}),(\mathrm{cara}, \mathrm{cara}),(\mathrm{coroa}, \mathrm{cara}),(\mathrm{cara}, \mathrm{coroa})\}$$

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Como podes ver $$P(E)=1$$, dado que irá sair sempre um dos resultados do espaço amostral.

Se te pedirem para calculares a probabilidade de sair duas vezes cara ou duas vezes coroa, fazes:

​$$A:$$​ "Sair duas vezes coroa".

​$$B:$$ "Sair duas vezes cara".

Como $$A\cap B= \empty$$ então $$P(A \cup B) = P(A)+ P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$.

Acontecimentos complementares

Seja $$A$$ um acontecimento, tem-se que o seu acontecimento complementar, $$\bar{A}$$, é o acontecimento que se realiza se e só $$A$$ não se realizar.

Exemplo

Considera uma experiência aleatória que consiste no lançamento de um dado de $$6$$​ faces numerado de $$1$$​ a $$6$$. O conjunto $$E$$​ é o espaço amostral.​

Sejam os acontecimentos:

$$A:$$ Sair número ímpar.

$$B:$$ Sair número par.

$$A$$​ e $$B$$​ são complementares porque ou sai dado com face impar ou dado com face par. Ou seja:

​$$A \cap B=\empty$$ e $$A \cup B=E$$​​

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Propriedades

A partir dos três axiomas apresentados demonstram-se os seguintes teoremas.

​​Exemplo

Mostra que $$P(A \cup B)- P(A \backslash B)= P(B)$$

Utilizando os teoremas tem-se a seguinte demonstração.

​$$P(A \cup B)- P(A \backslash B)= P(A)+ P(B)- P(A \cap B)-(P(A)-P(A \cap B))=P(A)+ P(B)- P(A \cap B)-P(A)+P(A \cap B)= \boxed{ P(B)}$$

Acontecimentos equiprováveis

Dois acontecimentos $$A$$​ e $$B$$ dizem-se equiprováveis se $$P(A)=P(B)$$.

Exemplo

Considera o lançamento de um dado não viciado.

Cada uma das faces tem a mesma probabilidade de sair, logo os acontecimentos elementares da experiência aleatória são equiprováveis.

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