Acontecimentos independentes: Resolução de problemas

​​Definição

Dizemos que dois acontecimentos $$A$$​ e $$B$$ são independentes quando:

​$$P(A) \times P(B)= P(A \cap B)$$

Nota: Isto acontece quando os acontecimentos não exercem influência um no outro. De facto, se $$A$$ e $$B$$ forem independentes,

$$P(A|B)=\frac{P(A\ \cap\ B)}{P(B)}=\frac{P(A)\times P(B)}{P(B)}=P(A)$$​​​

No entanto, esta propriedade não significa que a probabilidade de acontecerem em simultâneo seja nula.

Exemplo

Considera uma experiência aleatória que consiste no lançamento simultâneo de dois dados, um vermelho e outro amarelo. Calcula a probabilidade de sair $$1$$​ no dado amarelo e número impar no dado vermelho.

Sejam $$A$$​ e $$B$$ os acontecimentos:

​$$A:$$​ Sair $$1$$​ no dado amarelo.

​$$B:$$​ Sair número impar no dado vermelho.

Os dois acontecimentos não são influenciados um pelo outro. Logo,

$$P(A |B)=P(A)=\frac{1}{6}$$​

Mas como:

​$$\begin{aligned}&P(A|B) =\frac{P(A\ \cap\ B)}{P(B)} \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow\ &P(A)=​\frac{P(A\ \cap\ B)}{P(B)} \\\Leftrightarrow\ &P(A) \times P(B) = P(A \cap B) \\\Leftrightarrow\ &P(A \cap B)=\frac{1}{6} \times \frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{12}}\end{aligned}$$

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