Princípios fundamentais da contagem

Explicação

Os princípios fundamentais da contagem são utilizados quando há uma escolha a fazer que pode depender de várias etapas. Estes princípios dão-nos o número total de maneiras com que podemos fazer estas escolhas.

Imagina que queres fazer uma escolha $A$, que depende de duas subescolhas $a_1$ e $a_2$. Para a escolha $a_1$​ tens $n_1$ opções, e para a escolha $a_2$ tens $n_2$ opções. Há duas situações possíveis:​

• Escolher uma opção de $a_1$ impossibilita escolher uma opção de $a_2$ (ou vice-versa): neste caso, há $n_1+n_2$ opções totais de escolha para $A$. Chamamos a este raciocínio o princípio fundamental da adição.
• Tens de escolher uma opção de $a_1$ e uma opção de $a_2$ (ou vice-versa): neste caso, há $n_1\times n_2$ opções totais para a escolha $A$. Chamamos a este raciocínio o princípio fundamental da multiplicação.

Nota: No caso da escolha $A$ depender de uma terceira subescolha $a_3$ com $n_3$ opções distintas, as fórmulas serão $n_1+n_2+n_3$ e $n_1\times n_2 \times n_3$, respetivamente. As expressões estendem-se para quatro, cinco, etc. subescolhas.​

Exemplo

A Susana vive nos arredores de Lisboa e vai dar um passeio com as suas amigas a Belém. Para isso, ela quer escolher a roupa que vai levar, e está indecisa entre três blusas (uma verde, uma azul e uma roxa) e duas saias (uma preta e outra branca). Qual é o número de conjuntos que tem para vestir-se?

Como é preciso escolher uma opção de blusa e uma opção de saia, deves aplicar o princípio fundamental da multiplicação. Logo existem $3 \times2=6$ conjuntos que a Susana pode vestir.  De facto, os conjuntos são os seguintes:

Tendo escolhido a sua roupa, a Susana quer ir ao ponto de encontro. Para tal, há $3$ autocarros e $2$​ comboios que a levam de casa ao centro de Lisboa, e a partir de ali, pode apanhar $2$ autocarros ou $3$ comboios para ir a Belém. De quantas maneiras se pode deslocar a Susana?

Para chegar a Lisboa, a Susana ou vai num dos $3$​ autocarros, ou num dos $2$​ comboios. Logo, aplicando o princípio fundamental da adição, ela tem $3+2=5$ hipóteses para chegar a Lisboa. A seguir, para chegar a Belém, tem $2+3=5$ hipóteses. No total, a Susana tem $5 \times 5=25$ maneiras de chegar ao ponto de encontro.