Teorema de Extremos de Weierstrass: Conceito e resolução de problemas

Proposição

O Teorema de Extremos de Weierstrass afirma que toda a função $f$ , real de variável real, e contínua num intervalo $[a,b]$ , apresenta um máximo absoluto e um mínimo absoluto, cujos maximizante e minimizante pertencem a esse intervalo.

Exemplo

Seja $f$ uma função definida por ramos:

$f(x) = \begin{cases} x^3+x^2+1&\text{se } x<1\\ 3 &\text{se } x= 1\\ x+2 &\text{se } x> 1\end{cases}$

Mostra que a função apresenta um máximo e um mínimo absolutos no intervalo $[0,3]$ .

Primeiro vamos ver se a função é contínua no intervalo. Ambos os ramos da função são funções polinomiais contínuas, resta ver se é contínua em $x=1$ .

$\lim\limits_{x \to 1^-} (x^3+x^2+1)=1^3+1^2+1 =3$

$\lim\limits_{x \to 1^+} (x+2)=1+2 =3$

$f(1)=3$

Logo, como existe $\lim\nolimits_{x \to 1}f(x)$ a função é contínua em $1$ .

Então podemos utilizar o teorema de Weierstrass e concluir que a função apresenta um máximo e um mínimo absolutos no intervalo $[0,3]$ .