Conjuntos: Conceito e propriedades

Sejam $$A$$ e $$B$$ conjuntos e $$a$$ um objeto.​

Noção de pertença

Diz-se que $$a$$ pertence a $$A$$, e escreve-se $$a \in A$$, se $$a$$ for um elemento do conjunto $$A.$$

Caso contrário, escreve-se $$a \not\in A$$ ($$a$$ não pertence a $$A$$​).

Exemplo

$$2 \in \mathbb{N}$$​, porque $$2$$ é, de facto, um número natural.

Igualdade de conjuntos

$$A$$ e $$B$$ dizem-se iguais, e escreve-se $$A=B$$, se $$A$$ e $$B$$​ têm os mesmos elementos.

Representação de conjuntos

Um conjunto pode ser representado em extensão (através dos seus elementos) ou em compreensão (através de uma condição da qual seja conjunto-solução).

Exemplo

​$$A=[0,10]$$ é a representação em extensão do conjunto-solução da condição $${x\geq 0 \land x \leq 10}$$. Esta condição ainda pode ser escrita de forma mais compacta como $$0 \leq x \leq 10$$, que é uma representação em compreensão do conjunto $$A$$.​

Inclusão de conjuntos

Diz-se que $$A$$ está contido em $$B$$, e escreve-se $$A \subset B$$, se todos os elementos de $$A$$ forem elementos de $$B$$.

Exemplo

O conjunto $$A=\{1,2,5\}$$ está contido no conjunto $$B= \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$.​

Interseção de conjuntos

Chama-se interseção de $$A$$ com $$B$$, e representa-se por $$A\cap B$$, ao conjunto formado por todos os elementos que pertencem simultaneamente a $$A$$ e a $$B$$.

Exemplo

Se $$A=\{1,2,3,4,5\}$$ e $$B=\{2,4,6,8,10\}$$, então $$A \cap B=\{2,4\}$$.

União de conjuntos

Chama-se união de $$A$$ com $$B$$, e representa-se por $$A \cup B$$, ao conjunto formado por todos os elementos que pertençam pelo menos a um dos dois conjuntos.

Exemplo

Se $$A=\{1,2,3,4,5\}$$ e $$B=\{2,4,6,8,10\}$$, então $$A\cup B=\{1,2,3,4,5,6,8,10\}$$.

Diferença entre conjuntos

Chama-se diferença entre $$A$$ e $$B$$, e representa-se por $$A \setminus B$$, ao conjunto de todos os elementos de $$A$$ que não pertencem a $$B$$.

Exemplo

Se $$A=\{1,2,3,4,5\}$$ e $$B=\{2,4,6,8,10\}$$, então $$A \setminus B = \{1,3,5\}$$.

Complementar de um conjunto

Chama-se complementar de $$A$$, e escreve-se $$\overline{A}$$ ao conjunto formado por todos os elementos do universo que não pertencem a $$A$$.

Exemplo

Se o universo é $$U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$$ e $$A=\{1,2,3,4,5\}$$, então $$\overline{A}=\{6,7,8,9,10\}$$.​

Relação entre condições e conjuntos

Sejam $$p(x)$$ e $$q(x)$$ condições, e $$P$$ e $$Q$$ os seus conjuntos-solução, respetivamente. Sejam também $$u(x)$$ uma condição universal, $$i(x)$$ uma condição impossível, $$U$$ o universo e $$\empty$$ o conjunto vazio.

Como a cada condição corresponde um conjunto (o seu conjunto-solução), estabelece-se uma relação entre as propriedades das operações com condições e as propriedades das operações com conjuntos.

As propriedades lógicas e estas relações são a base de princípios utilizados para demonstrar factos matemáticos:

• Para provar que $$A \subset B$$, prova-se que $$\forall x, x \in A \implies x \in B$$.
• Para provar que $$A =B$$, prova-se que $$A \subset B$$ e $$B \subset A$$ (dupla inclusão).
• Para provar $$p(x) \implies q(x)$$, muitas vezes prova-se $$\sim q(x) \implies \sim p(x)$$, que é equivalente (demonstração por contrarrecíproco).

​