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Docente: Margarida C

Resumo

Tabelas e diagramas em árvore no cálculo de probabilidades

Explicação

Quando calculas probabilidades condicionadas pode ser-te útil utilizar tabelas ou diagramas em árvore na resolução.

Tabela

Considera o procedimento utilizado para resolveres um exercício de probabilidade condicionada com tabela.

Procedimento

1.	Identifica os acontecimentos com letras. Identifica acontecimentos complementares como $A$ e $\bar{A}$ .
2.	Retira do enunciado as probabilidades dadas.
3.	Desenha uma tabela. Na primeira linha, coloca um dos acontecimentos (e, na linha seguinte, o seu complementar). Na primeira coluna, coloca o outro acontecimento (e, na coluna seguinte, o seu complementar).
4.	Completa a tabela, calculado as probabilidades em falta.

Exemplo:

Considera as seguintes informações sobre um conjunto de turmas de 12.º ano.

$\frac{1}{3}$ dos alunos têm namorado/a;
Dos que não têm namorado/a, $\frac{1}{2}$ são rapazes.
Dos que têm namorado/a, $\frac{2}{3}$ são raparigas.

Qual é a probabilidade de ser rapaz e ter namorado/a?

1. Identifica os acontecimentos com letras.

$N$ : Ter namorado

$M$ : Ser rapaz

2. Retira do enunciado as informações dadas.

$P(N)= \frac{1}{3}$

$P(M|\bar{N})=\frac{1}{2}$

$P(\bar{M}|N)=\frac{2}{3}$

$P(M \cup N)=?$

3. Desenha a tabela da seguinte maneira:

	$\boldsymbol{M}$	$\boldsymbol{\bar{M}}$	TOTAL
$N$	$P(N \cap M)$	$P(N \cap \bar{M})$	$P(N)$
$\bar{N}$	$P(\bar{N} \cap M)$	$P(\bar{N} \cap \bar{M})$	$P(\bar{N})$
TOTAL	$P(M)$	$P(\bar{M})$	$1$

4. Completa a tabela:

	$\boldsymbol{M}$	$\boldsymbol{\bar{M}}$	TOTAL
$\boldsymbol{N}$	$\begin{aligned}&P(N)-P(N \cap \bar{M})=\\=&\frac{1}{3}-\frac{2}{9}=\frac{1}{9}\end{aligned}$	$\begin{aligned}&P(N) \times P(\bar{M}\| N)=\\=&\frac{1}{3} \times\frac{2}{3}=\frac{2}{9} \end{aligned}$	$P(N)=\frac{1}{3}$
$\boldsymbol{\bar{N}}$	$\begin{aligned}&P (\bar{N}) \times P ( M \|\bar{N})=\\=&\frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{3}\end{aligned}$	$\begin{aligned}&P(\bar{N})-P(\bar{N}\cap M)=\\=&\frac{2}{3}-\frac{1}{3}= \frac{1}{3}\end{aligned}$	$1-P(N)=\frac{2}{3}$
TOTAL	$\begin{aligned}&P(\bar{N} \cap M)+ P(N \cap M)=\\= &\frac{4}{9}\end{aligned}$	$\begin{aligned}&P(\bar{N} \cap \bar{M})+ P(N \cap \bar{M})=\\=& \frac{5}{9}\end{aligned}$	$1$

Logo, $\boxed{P(N \cap M)=\frac{1}{9}}$ .

Diagrama de árvore

Vê abaixo como usamos um diagrama de árvore para resolver exercícios de probabilidade condicionada.

PROCEDIMENTO

1.	Identifica os acontecimentos com letras. Identifica acontecimentos complementares como $A$ e $\bar{A}$ .
2.	Retira do enunciado as probabilidades dadas.
3.	Desenha o diagrama de árvore a partir dos dados do passo anterior.
4.	Multiplica as probabilidades de cada ramos para obter as interseções.

Exemplo

Considera o enunciado do exemplo anterior.

Os primeiros dois pontos do procedimento resolvem-se da mesma forma que no exemplo anterior.

3. Desenha e completa o diagrama de árvore a partir da probabilidade de um acontecimento dado:

4. Multiplica as probabilidades de cada ramo para obter as interseções:

Logo, $\boxed{P(N \cap M)=\frac{1}{9}}$ .

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