Condições: Conceito, operações lógicas e segundas Leis de De Morgan

Variáveis

Uma variável é uma letra que pode assumir vários valores. Quando se substitui uma variável numa expressão por um valor, diz-se que se está a concretizar essa variável.

Exemplo

Considera a expressão $$xyz+x^2z$$. Esta é uma expressão nas variáveis $$x$$, $$y$$ e $$z$$. Quando se substitui $$x$$ por $$2$$, $$y$$ por $$1$$ e $$z$$ por $$-1$$, obtemos o número $$-6$$. $$x$$ tem de ser substituído por $$2$$ nas duas parcelas.

Nota: O domínio de uma variável é o conjunto de valores que essa variável pode tomar.

Condições

Uma condição é uma expressão que se transforma numa proposição quando se concretizam as suas variáveis.

Exemplo

A expressão $$2x+3$$ não é uma condição, mas a expressão "$$x$$ é uma cidade portuguesa" é, já que quando se substitui $$x$$ pelo nome de alguma cidade se obtém uma afirmação passível de ser verdadeira ou falsa.

Um elemento do domínio de uma variável é uma solução da condição se ao substituir a variável por esse valor a expressão se transforma numa proposição verdadeira.

Exemplo

 "Porto" é solução da condição "$$x$$ é uma cidade portuguesa", mas "Paris" não é.

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​Quantificador existencial

Chama-se quantificador existencial ao símbolo $$\exists$$ (que se lê "existe " ou "existe pelo menos um").

Exemplo

​$$\exist n \in \mathbb{N}: n$$ é par (Existe pelo menos um número natural que é par).

Nota: O quantificador existencial utiliza-se com o sinal "$$:$$".

Dada uma condição num determinado domínio, a utilização do quantificador existencial transforma-a numa proposição que é verdadeira se a condição tem solução nesse conjunto e falsa se a condição é impossível neste conjunto.

Exemplo

A proposição $$\exist x \in \mathbb{R}: x+2=x^2$$ é verdadeira, pois a condição $$x+2=x^2$$ tem solução em $$\mathbb{R}$$ (por exemplo, o elemento $$x=2$$).​

Condições possíveis e condições impossíveis

Uma condição $$p(x)$$​ diz-se possível num conjunto $$A$$​ se tiver solução nesse conjunto. Nesse caso (e só nesse caso), a proposição $$\exist x \in A: p(x)$$ é verdadeira. Caso contrário, a condição diz-se impossível.​

Exemplo

A condição $$x^2=-2$$ é impossível em $$\mathbb{R}$$, já que o quadrado de qualquer número real é um número não negativo, logo em particular qualquer número real  tem quadrado diferente de $$-2$$.

Quantificador universal

Chama-se quantificador universal ao símbolo $$\forall$$ (que se lê "para todo" ou "qualquer que seja").

Exemplo

​$$\forall x \in \mathbb{N}, x \in \mathbb{Z}$$ (Qualquer que seja o número natural $$x$$, $$x$$ é um número inteiro).

Também se pode ler, de maneira mais simples, "Todo o número natural é inteiro.".

Nota: O quantificador universal utiliza-se com o sinal ",".

Dada uma condição num determinado domínio, a utilização do quantificador universal transforma-a numa proposição que é verdadeira se todos os elementos do domínio são solução da equação e falsa se pelo menos um dos elementos do domínio não é solução.

Exemplo

A proposição $$\forall x \in \mathbb{N}, x$$ é par é falsa, pois existem números naturais que não são pares.

Condições universais

Uma condição $$p(x)$$ diz-se universal num conjunto $$A$$ se todos os elementos desse conjunto forem solução da condição. Nesse caso (e só nesse caso), a proposição $$\forall x \in A, p(x)$$ é verdadeira. Caso contrário, a condição diz-se não universal.​

Exemplo

A condição $$x^2 >-1$$ é universal em $$\mathbb{R}$$, pois qualquer número real tem quadrado maior ou igual a $$0$$, logo em particular o quadrado de um número real qualquer é maior do que $$-1$$.

Segundas leis de De Morgan

Negação do quantificador universal: $$\sim [\forall x, p(x)] \Leftrightarrow \exist x: \sim p(x)$$

Negação do quantificador existencial: $$\sim [\exist x: p(x)] \Leftrightarrow \forall x, \sim p(x)$$​

Exemplo

Negar que todas as canetas de um conjunto são vermelhas é o mesmo que dizer que pelo menos uma delas não é vermelha. 

Negar que pelo menos uma das canetas do conjunto é vermelha é o mesmo que dizer que nenhuma caneta é vermelha, ou seja, todas são não vermelhas.

Contraexemplo

Um contraexemplo é uma concretização de uma variável que não satisfaz uma dada condição $$p(x)$$​. Serve para mostrar que a proposição $$\forall x, p(x)$$ é falsa.​

Exemplo

Considera a proposição $$\forall n \in \mathbb{N}, n$$ primo $$\implies n$$ ímpar. Esta afirmação é falsa porque $$n=2$$ é um número primo mas não é ímpar. O número natural $$n=2$$​ mostra então que a condição não é sempre satisfeita, funcionando como um contraexemplo.