Limite e convergência de sucessões

​​Explicação

Diz-se que um número real $$a$$ é o limite de uma sucessão $$(u_n)$$, ou que $$(u_n)$$ tende ou converge para $$a$$, e escreve-se $$lim \space u_n = a$$ se

​$$\forall \delta>0, \exists p \in \mathbb{N}: n \geq p \implies |u_n-a| <\delta$$.

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A noção intuitiva de limite é a de que os termos da sucessão se aproximam de $$a$$​ à medida que $$n$$​ aumenta.​

Nota: Por mais pequeno que o número real positivo $$\delta$$ seja, a partir de certa ordem os termos da sucessão estão a uma distância menor do que $$\delta$$ de $$a$$.

Exemplo

A sucessão $$(u_n)$$, definida por $$u_n = \dfrac{1}{n}$$ tende para $$0$$. Para $$\delta=\dfrac{1}{1000}$$, tem-se que

​$$|\dfrac{1}{n}-0| < \dfrac{1}{1000} \Longleftrightarrow \dfrac{1}{n} < \dfrac{1}{1000} \Longleftrightarrow n >1000$$

Ou seja, todos os termos de ordem superior a $$1000$$ estão a uma distância inferior a $$\dfrac{1}{1000}$$ de $$0$$.

Nota: Nem todas as sucessões têm limite. Diz-se que uma sucessão é convergente quando tem limite e divergente quando não tem.

Exemplo

A sucessão $$(u_n)$$, definida por $$u_n=(-1)^n$$ é divergente, já que não se aproxima de nenhum número real.

Unicidade do limite

O limite de uma sucessão, se existir, é único.

Exemplo

A sucessão $$(u_n)$$, definida por $$u_n=\dfrac{1}{n}$$ converge para $$0$$. Então, não converge para nenhum outro número real.

Limite de sucessões constantes

Uma sucessão constante tende para a própria constante.

Exemplo

Se $$(u_n)$$ é definida por $$u_n=2$$, então $$lim \space u_n = 2$$.

Teoremas de sucessões convergentes e limitadas

1. Toda a sucessão convergente é limitada.

Exemplo

A sucessão de termo geral $$u_n=\frac{1}{n}$$ (que converge para $$0$$​) é limitada, tomando valores entre $$0$$ e $$1$$​.

Nota: O recíproco não é verdade, isto é, há sucessões que são limitadas mas não são convergentes.

Exemplo

A sucessão de termo geral $$u_n=(-1)^n$$ toma alternadamente os valores $$-1$$ e $$1$$, por isso é limitada, mas não é convergente, já que nunca se aproxima realmente de nenhum valor.

2. Toda a sucessão crescente (em sentido lato) e majorada é convergente.

Exemplo

A sucessão de termo geral $$u_n= -\dfrac{1}{n}$$ é crescente, majorada (todos os termos são menores do que $$0$$​) e é convergente (o limite é $$0$$​).

3. Toda a sucessão decrescente (em sentido lato) e minorada é convergente.

Exemplo

A sucessão de termo geral $$u_n=\dfrac{1}{n}$$ é decrescente, minorada (todos os termos são maiores do que $$0$$​) e é convergente (o limite é $$0$$​).

Limites infinitos

Diz-se que uma sucessão $$(u_n)$$ tem limite $$+\infty$$, e escreve-se $$\lim u_n = +\infty$$, se

$$\forall L >0, \exists p \in \mathbb{N}: n \geq p \implies u_n >L$$

Nota: Por maior que o número real $$L$$ seja, a partir de certa ordem todos os termos da sucessão são superiores a $$L$$.

Exemplo

A sucessão $$(u_n)$$, definida por $$u_n=n$$, tem limite $$+\infty$$. Para qualquer número real positivo $$L$$, a partir da ordem $$p$$ correspondente ao primeiro número natural maior do que $$L$$​, todos os termos da sucessão (exclusive) são superiores a $$L$$.

Diz-se que uma sucessão $$(u_n)$$ tem limite $$-\infty$$, e escreve-se $$\lim u_n=-\infty$$, se

​$$\forall L>0, \exists p \in \mathbb{N}: n \geq p \implies u_n <-L$$

Nota: Por maior que o número real $$L$$​ seja, a partir de certa ordem todos os termos da sucessão são inferiores a $$-L$$​.​

Exemplo

A sucessão $$(u_n)$$, definida por $$u_n=-n$$, tem limite $$-\infty$$. Para qualquer número real positivo $$L$$, a partir da ordem $$p$$ correspondente ao primeiro número natural maior do que $$L$$, todos os termos da sucessão são inferiores a $$-L$$​.

Nota: As sucessões que tendem para $$\pm \infty$$ são sucessões divergentes.

Teoremas de comparação de sucessões

1. Se $$(u_n)$$ e $$(v_n)$$ são sucessões convergentes tais que, a partir de certa ordem, $$u_n \leq v_n$$, então $$\lim u_n \leq \lim v_n$$.

Exemplo

As sucessões constantes definidas por $$u_n=3$$ e $$v_n=7$$ satisfazem $$\forall n \in \mathbb{N}, u_n < v_n$$. Além disso, $$\lim u_n =3$$ e $$\lim v_n=7$$, confirmando-se o resultado proposto pelo Teorema de comparação de sucessões.

2. Se $$(u_n)$$​ e $$(v_n)$$​ são sucessões tais que $$\lim u_n = +\infty$$​ e, a partir de certa ordem, $$u_n \leq v_n$$​, então $$\lim v_n = +\infty$$​.

Exemplo

Sejam $$u_n=n$$ e $$v_n=2n$$. Tem-se $$\forall n \in \mathbb{N}, v_n > u_n$$, $$\lim u_n = +\infty$$ e $$\lim v_n = +\infty$$.

3. Se $$(u_n)$$​ e $$(v_n)$$​ são sucessões tais que $$\lim v_n=-\infty$$​ e, a partir de certa ordem, $$u_n \leq v_n$$​, então $$\lim u_n = -\infty$$.

Exemplo

Sejam $$u_n=-2n$$ e $$v_n=-n$$. Tem-se $$\forall n \in \mathbb{N}, u_n < v_n$$, $$\lim v_n = -\infty$$ e $$\lim u_n = -\infty$$.​

​​​​​​Teorema das sucessões enquadradas

Se $$(u_n)$$ e $$(v_n)$$ são sucessões convergentes que têm o mesmo limite $$a$$​ e $$(w_n)$$ é outra sucessão tal que, a partir de certa ordem, $$u_n \leq w_n \leq v_n$$, então $$(w_n)$$ é uma sucessão convergente e $$\lim w_n=a$$.

Exemplo

As sucessões $$u_n = -\dfrac{1}{n}$$, $$w_n=0$$ e $$v_n=\dfrac{1}{n}$$ satisfazem $$\forall n \in \mathbb{N}, u_n \leq w_n \leq v_n$$. Verifica-se também que $$\lim u_n= \lim v_n =0$$, e pelo Teorema das sucessões enquadradas $$\lim w_n=0$$, que é coerente com o resultado já conhecido.