Integral: Conceito e propriedades

Definição

O integral de uma função $f$ (contínua e não negativa) entre dois pontos de abcissas $a$ e $b$ representa-se por

$\int_a^b f(x)dx$

e é igual à área da região entre o eixo $Ox$ , as retas $x=a$ e $x = b$ , e a função $f$ .

Exemplo

Matemática A; Primitivas e cálculo integral; 12º Ano; Integral: Conceito e propriedades

A área debaixo da função $f(x) = x+1$  entre $x=1$  e $x=3$ é

$A= \boxed{\int_1^3 (x+1)dx = 6}$

Propriedades

Monotonia do integral

Se $g(x) \leq f(x)$ , então

$\int_a^b g(x) dx \leq \int_a^b f(x) dx$

Exemplo

Matemática A; Primitivas e cálculo integral; 12º Ano; Integral: Conceito e propriedades

Na figura acima, $g(x)<f(x)$ , ou seja, $\int_a^b g(x) dx \leq \int_a^b f(x) dx \Leftrightarrow A_2 \leq A_1$ .

Teorema fundamental do cálculo integral

Se

$F_a(x) = \int_a^x f(t) dt$

então $F_a$ é a primitiva de $f$ com $F_a (x=a) = 0$ .

Exemplo

Qual é a derivada de $\int_0^x \ln t\ dt$ ?

Pelo teorema fundamental do cálculo:

$\int_0^x f(t)\ dt = F_0(x) \Leftrightarrow \left(\int_0^x f(t)\ dt \right)'= F_0'(x) \Leftrightarrow \left(\int_0^x f(t)\ dt \right)'=f(x) \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow \left(\int_0^x \ln t\ dt \right)'=\ln x$

Fórmula de Barrow

Considera $f$ uma função contínua e não negativa num intervalo $[a,b]$ , com $a < b$ , e $F$ uma primitiva de $f$ . Então:

$\int_a^b f(t) dt = F(b)-F(a)$

Nota: $F(b)-F(a)$  pode ser representado por $[F(x)]_a^b$ .

Nota: Repara que $\int_b^af(x)dx = F(a)- F(b) = -\int_a^bf(x)dx$ .

Exemplo

$\int _0^4 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^4 = \frac{4^3}{3} = \boxed{\frac{64}{3}}$

Linearidade do integral

$\int_a^b [f(~x)+g(x)] dx= \int_a^b f(x) dx + \int_a^b g(x) dx$

$\int_a^b [k f(x)] dx = k \int_a^b f(x) dx \quad (k \in \mathbb{R})$

Exemplo

Considera $f(x) = e^x$  e $g(x) = x$

Integral de $\int_0^1 [f(x)+ g(x)] dx$ :

$\int_0^1 x dx + \int_0^1 e^x dx = \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 + \left [e^x\right]_0^1= \frac{1}{2} + (e-1) = \boxed{e - \frac{1}{2} }$

$\int_0^1(x+ e^x) dx=\left [\frac{x^2}{2} + e^x\right]_0^1 = \frac{1}{2} + e- 1 = \boxed{e - \frac{1}{2}}$

Integral de $\int_0^1 5 g(x) dx$ :

$5\int_0^1 x dx =5 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = 5 \times \frac{1}{2}= \boxed{\frac{5}{2}}$

$\int_0^1 5 x dx = \left[ \frac{5x^2}{2} \right]_0^1 = \boxed{\frac{5}{2}}$