Número de Neper

Definição

O número de Neper é um número irracional que é denotado pela letra $e$ .

Este número é definido como o limite de uma certa sucessão. De facto, é possível provar que a sucessão de termo geral $u_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ é convergente e o seu limite é exatamente o número de Neper:

$\lim\limits_{n\rarr\infty} (1+\frac{1}{n})^n=e$

A representação decimal do número de Neper é:

$e = 2{,}7182818285...$

Exemplo

Nota os valores da sucessão $u_n = \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ , à medida que $n$ vai aumentando:

$n=1\longrightarrow$ $\left(1+\frac{1}{1}\right)^1=2$
$n=2\longrightarrow$ $\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2{,}25$
$n=10\longrightarrow$ $\left(1+\frac{1}{10}\right)^{10}\approx2{,}594$
$n=100\longrightarrow$ $\left(1+\frac{1}{100}\right)^{100}\approx2{,}705$

Como podes ver, os valores da sucessão vão-se aproximando do número de Neper.

Limite notável

Dizemos que o limite da sucessão $u_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$ é um limite notável porque é um limite que utilizamos frequentemente como auxiliar ao cálculo de outros limites.

Exemplo

$\lim\limits_{n\rarr\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2n}=\lim\limits_{n\rarr\infty}\Big(\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\Big)^2=\Big(\lim\limits_{n\rarr\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\Big)^2=e^2$

Exemplo

Para calcular $\lim_{n\to \infty}\left(\frac{n+9}{n+1}\right)^{n+2}$ utilizado o limite notável, deves primeiro colocar a fração que está dentro dos parêntesis no formato adequado. Utilizando que

$\frac{n+9}{n+1}=\frac{n+1-1+9}{n+1}=1+\frac{8}{n+1}$

podes efetuar uma mudança de variável $m=n+1$ e reescrever o limite da seguinte forma:

$\lim\limits_{n\to \infty}\left(\frac{n+9}{n+1}\right)^{n+2}=\lim\limits_{m\to \infty}\left(1+\frac{8}{m}\right)^{m+1}=\left(\lim\limits_{m\to \infty}\left(1+\frac{8}{m}\right)\right)\times \left(\lim\limits_{m\to \infty}\left(1+\frac{8}{m}\right)^{m}\right)=\lim\limits_{m\to \infty}\left(1+\frac{8}{m}\right)^{m}$

Por fim, fazes uma mudança de variável de novo, com $m=8k$ . Reescrevendo,

$\lim\limits_{m\to \infty}\left(1+\frac{8}{m}\right)^{m}=\lim\limits_{k\to \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{8k}=\left(\lim\limits_{k\to \infty}\left(1+\frac{1}{k}\right)^{k}\right)^8=e^8$