​​​​​Conjuntos: Resolução de problemas

​​​​Propriedades da inclusão de conjuntos

​

Exemplo

Sejam ​$A = \{2,4\}$, $B=\{1,2,3,4,5\}$ e $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.

Então $\overline{A}=\{1,3,5,6,7,8,9,10\}$ e $\overline{B}=\{6,7,8,9,10\}$. Nota que $A \subset B$.

Repara também que $A \cap B = \{2,4\}=A$ (propriedade $1$​), $A \cup B = \{1,2,3,4,5\}=B$ (propriedade $2$​) e $\overline{B} \subset \overline{A}$ (propriedade $4$​).

Propriedades das operações de interseção e união

Exemplo

É possível simplificar a seguinte expressão através das propriedades explicadas:

​$\begin{aligned}[A \cap (\overline{A} \cup B)] \cup B &= [(A \cap \overline{A}) \cup (A \cap B)] \cup B \\&= (A \cap \overline{A}) \cup (A \cap B) \cup B \\&= \empty \cup (A \cap B) \cup B \\&= (A \cap B) \cup B \\&= (A \cap B) \cup (U \cap B) \\&= (A \cup U) \cap B \\&= U \cap B\\&=B\end{aligned}$​​

Na quinta igualdade introduziu-se propositadamente um conjunto universal, por ser o elemento neutro da interseção. A simples utilização da propriedade distributiva não seria suficiente para simplificar totalmente a expressão:

$\begin{aligned}(A \cap B) \cup B &= (A \cup B) \cap (B \cup B)\\&= (A \cup B) \cap B\end{aligned}$​​

Neste ponto, seria necessário utilizar um truque semelhante ao anterior:

$\begin{aligned}(A \cup B) \cap B &=(A \cup B) \cap (\empty \cup B) \\&=(A \cap \empty) \cup B \\&=\empty \cup B \\&=B \end{aligned}$​​

​​Leis de De Morgan

​

Exemplo

Sejam $A=\{1,4,7,8,9\}$, $B =\{2,3,5,6,7\}$ e $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$.

Então $\overline{A}=\{2,3,5,6,10\}$, $\overline{B}=\{1,4,8,9,10\}$, $A \cap B= \{7\}$, $\overline{A \cap B}= \{1,2,3,4,5,6,8,9,10\}$ e $\overline{A} \cup \overline{B}= \{1,2,3,4,5,6,8,9,10\}$, verificando-se a propriedade $1$.

​​Produto cartesiano de conjuntos

Se $X$ e $Y$ são conjuntos, então o produto cartesiano de $X$ por $Y$, que se representa por $X \times Y$ é o conjunto dos pares ordenados $(x,y)$, $x \in X$, $y \in Y$.

Exemplo

Se $A=\{1,2,3\}$ e $B=\{4,5\}$, então

$A \times B =\{(1,4),(1,5),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5)\}$​​

Propriedades do produto cartesiano de conjuntos

​

Exemplo

Sejam $A=\{1,2\}$, $B=\{3,4\}$ e $C=\{a,b\}$.

Então, $A \cup B=\{1,2,3,4\}$ e $(A \cup B) \times C=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)\}$.

Além disso, $A \times C =\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\}$ e $B \times C=\{(3,a),(3,b),(4,a),(4,b)\}$ e por isso $(A \times C) \cup (B \times C)= (A \cup B) \times C$ (propriedade $1$​).

Relação da diferença de conjuntos com a interseção e o complementar

​$A \setminus B = A \cap \overline{B}$

Exemplo

Se $A=\{1,2,3,4,5\}$ e $B=\{2,4\}$, então $A \setminus B =\{1,2,3\}$ e $A \cap \overline B = \{1,2,3\}$.