Limites notáveis: Conceito

Definição

Os limites notáveis são utilizados para superar indeterminações que surgem em limites de funções logarítmicas e exponenciais quando aplicadas as regras normais dos limites.

$\lim\limits_{x\to0}{e^x-1\over x}=1$

$\lim\limits_{x\to+\infin}{e^x\over x^k}=+\infin, k\isin\reals$

$\lim\limits_{x\to+\infin}{\ln x\over x}=0$

Exemplo

Aplica limites notáveis na resolução dos seguintes limites:

a) $\lim\limits_{x\to0}{3^x-1\over x}\stackrel{({0\over0})}{=}\lim\limits_{x\to0}{e^{\ln3^x}-1\over x}=\lim\limits_{x\to0}{e^{x\ln3}-1\over x}=\ln3\times\lim\limits_{x\to0}{e^{x\ln3}-1\over x\ln3}$

$y=x\ln3; \ \text{se} \ x\to0\ \text{então} \ y\to0$

$\ln3\times\lim\limits_{x\to0}{e^{x\ln3}-1\over x\ln3}=\ln3\times \lim\limits_{y\to0}{e^y-1\over y}=(\ln3)\times1=\ln3$

b) $\lim\limits_{x\to-\infin}(2^{1-x}+x)\stackrel{(\infin-\infin)}{=}\lim\limits_{x\to-\infin}(2\times2^{-x}+x)$

 $y=-x, \text{ se }x\to-\infin \text{ então }y\to+\infin$

 $\lim\limits_{x\to-\infin}(2\times2^{-x}+x)=\lim\limits_{y\to+\infin}(2\times2^{y}-y)=\lim\limits_{x\to-\infin}\bigg[y(2\times{2^{y}\over y}-1)\bigg]=+\infin \ [2\times(+\infin)-1]=+\infin$

c) $\lim\limits_{x\to0}(x\ln x)\stackrel{(0\times(-\infin))}{=}\lim\limits_{x\to0^+}(x\ln x)$

$y={1\over x}\Harr \ x={1\over y}, \text{ se } x\to0^+ \text{ então } y\to+\infin$

$\lim\limits_{x\to0^+}(x\ln x)=\lim\limits_{y\to+\infin}\bigg[{1\over y}\ln ({1\over y})\bigg]=\lim\limits_{y\to+\infin}{\ln y^{-1}\over y}=\lim\limits_{y\to+\infin}{-\ln y\over y}=-\lim\limits_{y\to+\infin}{\ln y\over y}=0$

Limites de funções do tipo $f(x)^{g(x)}$

Para superar indeterminações no cálculo de funções do tipo $f(x)^{g(x)}$ , aplica-se a seguinte igualdade:

$f(x)^{g(x)}=e^{\ln f(x)^{g(x)}}=e^{g(x)\times\ln f(x)}$

Visto que a função exponencial é contínua, pode-se aplicar o seguinte limite:

$\lim\limits_{x\to a}f(x)^{g(x)}=\lim\limits_{x\to a}e^{g(x)\times\ln f(x)}=e^{\lim\limits_{x\to a}\Big[g(x)\times\ln f(x)\Big]}$

Exemplo

$\lim\limits_{x\to+\infin}(3x)^{{x+2\over x^2}}=e^{\lim\limits_{x\to +\infin}\Big[{x+2\over x^2}\times\ln (3x)\Big]}$

${\lim\limits_{x\to +\infin}\Big[{x+2\over x^2}\times\ln (3x)\Big]}\stackrel{(0\times\infin)}{=}{\lim\limits_{x\to +\infin}\Big({x+2\over x^2}\times 3x \times{\ln (3x)\over3x}\Big)}={\lim\limits_{x\to +\infin}\Big({3x^2+6x\over x^2}\Big) \times \lim\limits_{x\to +\infin}{\ln (3x)\over3x}}={\lim\limits_{x\to +\infin}{3x^2\over x^2} \times \lim\limits_{y\to +\infin}{\ln y\over y}}=3\times0=0$

Houve mudança de variável para $y=3x$ , em que $y\to+\infin$ 

Portanto:

$e^{\lim\limits_{x\to +\infin}\Big[{x+2\over x^2}\times\ln (3x)\Big]}=e^{0}=1$ 