Teorema de Bolzano-Cauchy: Conceito e resolução de problemas

Explicação

O teorema de Bolzano-Cauchy, também conhecido como o Teorema dos Valores Intermédios, traduz a ideia de que, para desenhar uma função contínua num intervalo fechado, não podes levantar o lápis do papel.

Teorema

Seja $f$ uma função real de variável real contínua num intervalo $[a,b]$ . Seja $k$ um valor compreendido entre $f(a)$ e $f(b)$ . Então, o Teorema de Bolzano-Cauchy afirma que existe pelo menos um valor $c \in ]a,b[$ tal que $f(c)=k$ .

Exemplo


Neste caso, existe um valor $c \in [a,b]$ que tem como imagem $K$ .	Neste caso, existe mais do que um valor que tem como imagem $K$ .

Nota: Se a função não for contínua no intervalo, não podes utilizar o teorema.

Exemplo

Considera a representação gráfica da função $f$ definida por ramos.

Matemática A; Limites e continuidade de uma função; 12º Ano; Teorema de Bolzano-Cauchy

Como podes ver, embora $K$  esteja compreendido entre $f(a)$  e $f(b)$ , tens que não existe $c \in ]a,b[$ tal que $f(c)=K$ . Isto acontece porque a função é descontínua em $[a,b]$ .

Corolário do teorema de Bolzano-Cauchy

Se $f$ for uma função contínua no intervalo $[a,b]$ , com $a<b$ , que verifica $f(a)\times f(b)<0$ então $f$ tem pelo menos um zero no intervalo $]a,b[$ .

Exemplo:

A função real de variável real $f(x)=x^2-2$ é contínua em todo $\R$ porque é uma função polinomial. Como $f(0)=-2$ e $f(2)=2$ , sabemos que $f$ tem um zero no intervalo $]0,2[$ .