Cálculo da função derivada de funções exponenciais e logarítmicas

​​Derivada da função exponencial

A função exponencial é definida por $$\exp(x)=e^x$$ e é diferenciável em $$\reals$$, sendo a sua derivada a seguinte:

​$$\exp'(x)=\exp(x)\Harr (e^{x})'=e^{x}$$​​

Quando tens uma função exponencial cujo expoente é uma função $$u(x)$$​, ou seja, $$f(x)=e^{u(x)}$$, a derivada de $$f(x)$$ é:

$$\exp'(u(x))=[u(x)]'\exp(u(x))\Harr (e^{u(x)})'=[u(x)]'e^{u(x)}$$​​

​

Nota: Não te esqueças que $$\lim\limits_{x\to0}{e^{x}-1\over x}=1$$.

​

Exemplo

A função derivada da função exponencial $$f(x)=e^{8x-2}$$ é:

$$f'(x)=(e^{8x-2})'=(8x-2)'e^{8x-2}=8e^{8x-2}$$​​

Derivada da função exponencial de base $$a$$​​

A função exponencial de base $$a$$ é definida por $$f(x)=a^x$$ e é diferenciável quando $$a>0$$, sendo a sua derivada a seguinte:

​$$(a^x)'=a^x\ln a$$​​

Quando tens uma função exponencial cujo exponente é uma função $$u(x)$$, ou seja, $$f(x)=a^{u(x)}$$, então a derivada de $$f(x)$$ é:

$$(a^{u(x)})'=[u(x)]'a^{u(x)}\ln a$$​​

Exemplo

A função derivada da função exponencial $$f(x)=2^{\sin(3x)}$$ é:

$$f'(x)=(2^{\sin(3x)})'=[\sin(3x)]' \times 2^{\sin(3x)}\times\ln2=3\cos(3x)\times2^{\sin(3x)}\times\ln2$$​​

Derivada da função logarítmica 

A função logarítmica é definida por $$f(x)=\ln x$$ e é diferenciável em $$\reals^+$$, sendo a sua derivada a seguinte:

​$$(\ln x)'={1\over x}$$​​

​

Quando tens uma função logarítmica cujo logaritmo decimal é uma função $$u(x)$$, ou seja, $$f(x)=\ln(u(x))$$, a derivada de $$f(x)$$​ é:

$$[\ln(u(x))]'={[u(x)]'\over u(x)}$$​​

​

Nota: Não te esqueças que $$\lim\limits_{x\to+\infin}(1+{1\over x})^x=e^x$$.

Exemplo

A função derivada de $$f(x)=\ln (3x^2-5)$$ é:

$$[\ln (3x^2-5)]'={(3x^2-5)'\over 3x^2-5}={3\times2x\over 3x^2-5}={6x\over 3x^2-5}$$​​

Derivada da função logarítmica de base $$a$$

A função logarítmica de base é definida por $$f(x)=\log_ax$$​ e é diferenciável em $$\reals^+$$​ e quando $$a>0$$​  e  $$a\ne1$$, sendo a sua derivada a seguinte:

​$$(\log_ax)'={1\over x\ln a}$$​​

Quando tens uma função logarítmica cujo logaritmo é uma função $$u(x)$$, ou seja, $$f(x)=\log_a(u(x))$$​, a derivada de $$f(x)$$​ é:

​$$(\log_a(u(x))'={[u(x)]'\over u(x)\ln a}$$​​

Nota: Não te esqueças que $$\log_ax={\ln x\over\ln a}$$.

​

Exemplo

​​A função derivada de $$f(x)=\log_{4}(2x^3)$$ é:

$$[\log_{4}(2x^3)]'={(2x^3)'\over 2x^3\ln(4)}={6x^2\over 2x^3\ln(4)}={3\over x\ln(4)}$$

​​