Sucessões: Conceito e monotonia

Definição

Uma sucessão real é uma função de domínio $\mathbb{N}$ e conjunto de chegada $\mathbb{R}$ . A expressão analítica de uma sucessão é usualmente chamada de termo geral.

Exemplo

A função $u\colon \mathbb{N}\to \mathbb{R}$  dada por $u_n=n+4$ é uma sucessão.

Nota: Quando escrevemos o termo geral de uma sucessão $u\colon \mathbb{N}\to \mathbb{R}$ , é normal escrever $u_n$ em vez de $u(n)$ , tal como no exemplo acima.

Monotonia

Uma sucessão é:

crescente, se cada termo é sempre maior do que o anterior:

$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}>u_n \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n>0$

crescente em sentido lato, se cada termo é sempre maior ou igual ao anterior:

$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}\ge u_n \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n\ge 0$

decrescente, se cada termo é sempre menor do que o anterior:

$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}<u_n \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n<0$

decrescente em sentido lato, se cada termo é sempre menor ou igual ao anterior:

$\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1} \le u_n \Leftrightarrow \forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}-u_n \le 0$

Uma sucessão é monótona se for sempre crescente ou sempre decrescente.

Da mesma forma, uma sucessão é monótona em sentido lato se for sempre crescente em sentido lato, ou sempre decrescente em sentido lato.

Exemplo

A sucessão $u_n=2n+3$ é monótona? Bem, se calculares

$u_{n+1}-u_n=(2(n+1)+3)-(2n+3)=2n+2+3-2n-3=2>0$

Assim, a sucessão $u_n$ é sempre crescente, sendo então monótona.