Triângulo de Pascal e binómio de Newton: Propriedades

Triângulo de Pascal

O triângulo de Pascal é uma forma de representar o valor das combinações. Assim, como podes observar na imagem a seguir, cada entrada do triângulo corresponde a um valor de $${}^nC_p$$ – cada linha corresponde ao número de elementos do conjunto total $$n$$, e cada coluna é igual ao número $$p$$. Começamos a contar as linhas e colunas em $$n=p=0$$ (e, portanto, o vértice de cima do triângulo corresponde a $${}^0C_0=1$$).​

Exemplo

Na figura mostrada a seguir, estão esquematizadas as primeiras três linhas do triângulo de Pascal. Com ajuda de uma das propriedades, calcula as quatro linhas a seguir das que são mostradas no esquema, e verifica as propriedades restantes.

Podes aplicar a propriedade 3 para calcular as próximas quatro linhas do triângulo:

A seguir, verificas que as propriedades se cumprem:

• Observando que $$^4C_0 = {}^4C_4=1$$, por exemplo, verificas a primeira propriedade.
• Pelo cálculo de $$^5C_3={}^5C_{5-3}$$ ou seja, $$^5C_3={}^5C_{2}=10$$, por exemplo, verificas a segunda propriedade.
• Se somares os elementos da quarta linha, $$1+3+3+1=8$$, verificas a quarta lei porque $$2^3=8$$.

Binómio de Newton

O binómio de Newton é o nome dado ao desenvolvimento da $$n$$-ésima potência de $$(a+b)$$. A fórmula é a seguinte:

$$(a+b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\ \ {}^nC_k\ \ a^{n-k}\ \ b^k$$ ,    $$n \in \mathbb{N}_0$$​​

Nota: Nesta situação, os números $$^nC_p$$ com $$0\leq p \leq n$$, são denominados coeficientes binomiais.

Exemplo

Determina o desenvolvimento da expressão $$(x+2)^4$$ utilizando a fórmula do binómio de Newton.

Sabes que $$a=x$$, $$b=2$$ e $$n=4$$. A seguir, usas a fórmula:

$$\begin{aligned}(x+2)^4&= {}^4C_0x^{(4-0)}2^0+{}^4C_1x^{(4-1)}2^1+{}^4C_2x^{(4-2)}2^2+{}^4C_3x^{(4-3)}2^3+{}^4C_4x^{(4-4)}2^4 \\&= 1\times x^{4}\times1+4\times x^{3}\times2+6\times x^{(2)}\times 4+^4\times x^{1}\times 8+1\times x^{0}\times16\\&= x^{4}+8x^{3}+24 x^2+32x+16\end{aligned}$$​​