Cálculo de limites e derivadas de funções trigonométricas

Limites de funções trigonométricas

Limite notável

O limite notável abaixo é muito importante e ajuda-te a resolver vários limites com funções trigonométricas:

​$$\lim_{x \rightarrow 0} \cfrac{\sin x}{x}=1$$

Nota: Na figura vês que o valor da função $$\frac{\sin x}{x}$$​ em $$x=0$$​ é $$1$$!

Nota: Lembra-te que, para calculares limites, pode ser útil mudares de variável. O valor para o qual a nova variável tende poderá ser diferente!

Exemplo

​$$\lim_{x \rightarrow {-\frac{\pi}{2}}} \cfrac{\cos x}{\pi + 2x} =^{^{\frac{0}{0}}}_{{}_{\pi + 2x = y }}\lim_{y \rightarrow 0} \cfrac{\cos\left(-\frac{\pi}{2}+\frac{y}{2}\right)}{y} = \lim_{y \rightarrow 0} \cfrac{\sin\left(\frac{y}{2}\right)}{y} = \lim_{y \rightarrow 0} \frac{1}{2} \cfrac{\sin\left(\frac{y}{2}\right)}{\frac{y}{2}} = \\=_{z=y/2} \lim_{z\rightarrow 0} \frac{1}{2} \cfrac{\sin z}{z} = \boxed{\cfrac{1}{2}}$$​​

Resolver limites de funções trigonométricas

Primeiro, tenta calcular o limite substituindo a variável na expressão pelo valor em que calculas o limite (substituição direta).

Se obtiveres uma indeterminação, segue o procedimento:

Procedimento  

Exemplo

Substituição direta: 

​$$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \cfrac{\sin x}{\cos^2 x } = \cfrac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)^2} = \cfrac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \boxed{\sqrt{2}}$$​​

​

Multiplicação pelo conjugado do denominador:

$$\lim_{x \rightarrow 0^+} \cfrac{\sin x}{1-\cos x} = ^{^{\frac{0}{0}}} \lim_{x \rightarrow 0^+} \cfrac{\sin x\ (1+\cos x)}{(1-\cos x)(1+\cos x)} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \cfrac{\sin x\ (1+\cos x)}{1-\cos^2 x}= \\= \lim_{x \rightarrow 0^+} \cfrac{\sin x\ (1+\cos x)}{\sin^2 x} = \lim_{x \rightarrow 0^+} \cfrac{1+\cos x}{\sin x} = \cfrac{2}{0^+} = \boxed{+\infty}$$​​

Derivadas de funções trigonométricas

Derivada de $$\sin x$$, $$\cos x$$​ e $$\tan x$$

​$$\begin{aligned}\sin' x &= \cos x \\\cos' x &= - \sin x \\\tan x &= \cfrac{1}{\cos^2 x}\end{aligned}$$​​

Exemplo    

​$$(\sin x + 2 x + 3 )' = \sin' x + 2x'+3' = \boxed{\cos x + 2}$$​​

Derivada de funções compostas de $$\sin x$$, $$\cos x$$​ e $$\tan x$$​​

$$\begin{aligned}(\sin u(x))' &= u'(x) \cos(u(x)) \\(\cos u(x))' &= - u'(x) \sin(u(x)) \\\tan (u(x)) &= \cfrac{u'(x)}{\cos^2 (u(x))} \end{aligned}$$​​

Exemplo

​$$\left(\cos(4x^2)\right)' = -(4x^2)' \sin(4x^2) = \boxed{-8x \sin(4x^2)}$$​​

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