Função cosseno e as suas características

Explicação

A função cosseno faz corresponder a cada número real $$x$$ um e um só número real $$y = \cos x$$, ou seja, é uma função real de variável real. Habitualmente, o argumento $$x$$ é um ângulo generalizado em radianos.

​Nota: Repara que o gráfico segue o valor do cosseno do ângulo $$x$$ conforme o acompanhamos no círculo. Começando em $$\cos(0) = 1$$, o cosseno começa por diminuir para $$\cos(\pi/2)= 0$$​ e $$\cos(\pi)=-1$$, depois aumenta e vai oscilando.

Exemplo

Com base nas propriedades de $$\cos x$$, é possível caracterizar transformações gráficas de $$\cos x$$​, como $$f(x)=2 \cos(x-1)$$, representada a preto na figura.

Domínio: $$\mathbb{R}$$

Contradomínio: $$[-1\times 2,1\times 2] = [-2,2]$$

Período: a função é periódica com período fundamental $$\underline{2\pi}$$, pois

$$\cos(x) = \cos(x + 2k\pi) \Leftrightarrow 2\cos(x-1) = 2\cos(x -1 + 2k\pi)$$​​

Zeros: $$\begin{aligned}2\cos(x-1) = 0 &\Leftrightarrow x-1 = \frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow \boxed{x =1 + \frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbb{Z}}\end{aligned}$$​

​Máximos: $$\begin{aligned}2\cos(x -1) = 2 &\Leftrightarrow \cos(x -1) = 1 \Leftrightarrow x - 1 = 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow \boxed{x = 1 + 2 k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\end{aligned}$$​

​

Mínimos: $$\begin{aligned}2\cos(x-1) = -2 &\Leftrightarrow \cos(x-1) = -1 \Leftrightarrow x-1 = \pi + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow \boxed{x = 1 + \pi + 2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}}\end{aligned}$$​

Paridade: a função não é par nem ímpar, pois

​

 $$f(-x) = 2 \cos(-x-1) = 2\cos(-(x+1))= 2\cos(x+1) \neq f(x)\neq -f(x)$$​

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Função inversa: arco-cosseno

Como $$\cos x$$​ não é injetiva, não tem inversa. Mas a sua restrição a $$x\in[0,\pi]$$​

​$$\begin{aligned}f:\left[ 0,\pi \right]& \longrightarrow [-1,1] \\x &\longmapsto \cos x\end{aligned}$$​​

é bijetiva e, por isso, tem uma função inversa chamada arco-cosseno

​$$\begin{aligned}f^{-1}: [-1,1]& \longrightarrow \left[0, \pi \right] \\x &\longmapsto \arccos x\end{aligned}$$​​

que respeita $$\arccos x = y \Leftrightarrow x = \cos y$$.

Exemplo

Vamos calcular a função inversa da função $$f(x)=2\cos(x-1)$$ do exemplo anterior. Começamos por inverter a função:

$$y = 2\cos(x-1) \Leftrightarrow \frac{y}{2} = \cos(x-1) \Leftrightarrow \arccos \left(\frac{y}{2} \right) = \arccos(\cos(x-1)) \Leftrightarrow \arccos \left(\frac{y}{2} \right) = x-1 \Leftrightarrow x = \arccos \left(\frac{y}{2} \right) + 1$$​​

Contradomínio: 

$$0 \leq \arccos\left(\frac{x}{2}\right) \leq \pi \Leftrightarrow 1 \leq \arccos\left(\frac{x}{2}\right) +1 \leq \pi +1$$​​

Função inversa:

​$$\boxed{\begin{aligned}f^{-1}: [-2,2]& \longrightarrow \left[ 1, \pi + 1 \right] \\x &\longmapsto \arccos\left( \frac{y}{2} \right) + 1 \end{aligned}}$$

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