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Matemática A

Sucessões

Indeterminações de sucessões de limites infinitos

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Trigonometria

Lei dos senos para a determinação dos elementos de um triângulo

Lei dos cossenos na determinação dos elementos de um triângulo

Resolução de triângulos utilizando as leis dos senos e dos cossenos

Conceito de ângulo orientado e de ângulos generalizados

Radiano: Conceito e comparação com o grau

Fórmulas trigonométricas: Conceito e aplicação

Função seno e as suas características

Função cosseno e as suas características

Função tangente e as suas características

Resolução de equações trigonométricas

Resolução de inequações trigonométricas

Vetores no espaço

Plano mediador de um segmento de reta usando o produto escalar

Superfície esférica e produto escalar

Plano tangente a uma superfície esférica

Equações cartesianas de um plano

Equação vetorial de um plano

Equação vetorial de um plano: resolução de problemas

Vetores no plano

Produto escalar: Cálculo, propriedades e ângulo entre vetores

Relação entre o declive de retas perpendiculares

Mediatriz de um segmento de reta usando o produto escalar

Circunferência e produto escalar

Reta tangente a uma circunferência usando o produto escalar

Geometria analítica no plano

Declive de uma reta no plano

Sucessões

Sucessões: Conceito e monotonia

Sucessões limitadas e ilimitadas

Princípio da indução matemática: Conceito e aplicação

Progressão aritmética: Identificação e termo geral

Progressão geométrica: Identificação e termo geral

Limite e convergência de sucessões

Propriedades dos limites de sucessões

Limites infinitos: Cálculo de operações

Indeterminações de sucessões de limites infinitos

Levantamento de indeterminações: Resolução de problemas

Monotonia, extremos e concavidade

Cálculo da derivada de uma função num ponto

Função derivada: Conceito e propriedades

Extremos locais: Diferenciabilidade de uma função

Estudo da monotonia de uma função

Extremos e monotonia: resolução de problemas

Limites e funções contínuas

Cálculo do limite de uma função num ponto

Resolução de operações com limites de funções

Cálculo de limites e levantamento de indeterminações

Funções contínuas num ponto

Determinação de assíntotas ao gráfico de uma função

Funções racionais: Limites e assíntotas

Álgebra

Polinómios: Conceito, Regra de Ruffini e Teorema do resto

Fatorização de polinómios

Resolução de inequações do 2º e do 3º grau

Estatística

Média de uma amostra, propriedades e desvios

Nuvem de pontos e amostras bivariadas

Reta de mínimos quadrados

Coeficiente de correlação linear de dados bivariados

Vídeo Explicativo

Docente: Pedro

Resumo

Indeterminações de sucessões de limites infinitos

Em certos casos, não é imediato indicar o valor do limite de uma sucessão que resulta de uma operação entre sucessões de limites conhecidos.

Soma de limites infinitos (tipo $\infty - \infty$ )

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões tais que $u_n \to +\infty$ e $v_n \to -\infty$ , então não é possível indicar o valor de $\lim (u_n+v_n)$ sem efetuar cálculos.

Por este motivo, diz-se que se trata de uma indeterminação. Esta indeterminação representa-se simbolicamente por $\infty - \infty$ .

Exemplo

Sucessão $(u_n)$	$\lim u_n$	Sucessão $(v_n)$	$\lim v_n$	Sucessão $(u_n+v_n)$	$\lim \space (u_n+v_n)$
$2n$	$+\infty$	$-3n$	$-\infty$	$2n-3n=-n$	$-\infty$
$3n$	$+\infty$	$-2n$	$-\infty$	$3n-2n=n$	$+\infty$
$2n$	$+\infty$	$-2n$	$-\infty$	$2n-2n=0$	$0$

Produto de limites infinitos (tipo $\infty \times 0$ )

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões tais que $u_n \to \pm \infty$ e $v_n \to 0$ , então também não é possível indicar o valor de $\lim (u_n \times v_n)$ sem efetuar cálculos. Esta indeterminação representa-se simbolicamente por $\infty \times 0$ .

Exemplo

Sucessão $(u_n)$	$\lim u_n$	Sucessão $(v_n)$	$\lim v_n$	Sucessão $(u_n \times v_n)$	$\lim \space (u_n \times v_n)$
$2n$	$+\infty$	$\dfrac{1}{n}$	$0$	$2n \times \dfrac{1}{n}=2$	$2$
$-2n^2$	$-\infty$	$\dfrac{2}{n}$	$0$	$2n^2 \times \left(-\dfrac{2}{n}\right)=-4n$	$-\infty$
$n$	$+\infty$	$-\dfrac{1}{n^2}$	$0$	$n \times \left(-\dfrac{1}{n^2}\right)=-\dfrac{1}{n}$	$0$

Quociente de limites infinitos (tipos $\dfrac{\infty}{\infty}$ e $\dfrac{0}{0}$ )

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões tais que $v_n \neq 0$ , $u_n \to \pm \infty$ e $v_n \to \pm \infty$ , então o valor de $\lim \frac{u_n}{v_n}$ só pode ser indicado após serem efetuados cálculos. Esta indeterminação representa-se simbolicamente por $\frac{\infty}{\infty}$ .

Exemplo

Sucessão $(u_n)$	$\lim u_n$	Sucessão $(v_n)$	$\lim v_n$	Sucessão $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$	$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$
$n$	$+\infty$	$2n$	$+\infty$	$\dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$n^2$	$+\infty$	$-n$	$-\infty$	$\dfrac{n^2}{-n}=-n$	$-\infty$
$n$	$+\infty$	$n^2$	$+\infty$	$\dfrac{n}{n^2}=\dfrac{1}{n}$	$0$

Além disso, se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões tais que $v_n \neq 0$ , $u_n \to 0$ e $v_n \to 0$ , o valor de $\lim \dfrac{u_n}{v_n}$ também não pode ser indicado a priori. Esta indeterminação representa-se simbolicamente por $\dfrac{0}{0}$ .

Exemplo

Sucessão $(u_n)$	$\lim u_n$	Sucessão $(v_n)$	$\lim v_n$	Sucessão $\left(\dfrac{u_n}{v_n}\right)$	$\lim \dfrac{u_n}{v_n}$
$\dfrac{1}{n}$	$0$	$\dfrac{2}{n}$	$0$	$\dfrac{\frac{1}{n}}{\frac{2}{n}}=\dfrac{n}{2n}=\dfrac{1}{2}$	$\dfrac{1}{2}$
$\dfrac{1}{n^2}$	$0$	$-\dfrac{1}{n}$	$0$	$\dfrac{\frac{1}{n^2}}{-\frac{1}{n}}=-\dfrac{n}{n^2}=-\dfrac{1}{n}$	$0$
$\dfrac{2}{n}$	$0$	$\dfrac{1}{n^2}$	$0$	$\dfrac{\frac{2}{n}}{\frac{1}{n^2}}=\dfrac{2n^2}{n}=2n$	$+\infty$

Lê mais

Aprender as Bases

Duração:

Unidade 1

Sucessões: Conceito e monotonia

Unidade 2

Limite e convergência de sucessões

Teste Atalho

Unidade 3