Propriedades dos limites de sucessões

Explicação

Por vezes, é possível indicar diretamente, sem efetuar cálculos, o limite de uma sucessão que resulta de operações com sucessões de limites conhecidos.

Limites de sucessões que diferem num número finito de termos

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões que diferem num número finito de termos, então:

• Se uma das sucessões é convergente, a outra também é e as sucessões têm o mesmo limite;
• Se uma das sucessões tende para $\pm \infty$, então a outra também;
• Se uma das sucessões não tem limite, a outra também não.

Exemplo

Na figura abaixo, está representada a sucessão $(u_n)$, cujos primeiros $5$ termos são $1$ e os restantes termos são $-1$, e a sucessão $(v_n)$, que só difere de $(u_n)$ nos seus primeiros $5$ termos (obtém-se a partir de $(u_n)$ substituindo os primeiros $5$ termos por $0$). Tem-se $\lim u_n = \lim v_n=-1$.

Produto de uma sucessão limitada por outra de limite nulo

Se $(u_n)$ é uma sucessão limitada e $(v_n)$ é uma sucessão convergente tal que $\lim v_n=0$, então $(u_n \times v_n)$ é uma sucessão convergente e $\lim (u_n \times v_n) = 0$.

Exemplo

A sucessão de termo geral $u_n = \frac{\sin n}{n}$ é convergente e o limite é $0$, porque é o produto de uma sucessão limitada (a sucessão de termo geral $v_n = \sin n$​) por uma de limite nulo (a sucessão de termo geral $w_n=\frac{1}{n}$​).

Limite de uma potência de $n$

Se $p \in \mathbb{Q}$, então:

• $\lim n^p = +\infty$, se $p>0$;
• $\lim n^p = 0$, se $p<0$.​
  

Exemplo

​$n^2 \to +\infty$ e $n^{-\frac{3}{2}} \to 0$.​

Nota: Se $p=0$, então $\lim n^p = \lim n^0 = \lim 1 = 1$.

Limite da soma de sucessões convergentes

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões convergentes, com $\lim u_n = a$ e $\lim v_n=b$, então $(u_n+v_n)$ é uma sucessão convergente e $\lim (u_n+v_n) = a+b$.

Exemplo

Se $u_n \to 3$ e $v_n \to -4$, então $(u_n+v_n)$ é uma sucessão convergente e o seu limite é $3+(-4)=-1$.

Limite do produto de sucessões convergentes

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões convergentes, com $\lim u_n=a$ e $\lim v_n=b$, então $(u_n \times v_n)$ é uma sucessão convergente e $\lim (u_n \times v_n) = a \times b$.

Exemplo

Se $u_n \to -2$ e $v_n \to \frac{5}{3}$, então $(u_n \times v_n)$ é uma sucessão convergente e o seu limite é $(-2) \times \frac{5}{3}=-\frac{10}{3}$.

Nota: Em particular, se $k$ é uma constante e $(u_n)$ é uma sucessão convergente, então $(k u_n)$ é uma sucessão convergente e $\lim (k u_n) = k \lim u_n$.

Exemplo

A sucessão $u_n=1-\frac{1}{n}$ é convergente e o seu limite é $1$. Por isso, a sucessão ${v_n=2-\frac{2}{n}=2\left(1-\frac{1}{n}\right)}$ também é convergente e o seu limite é $2 \times 1 =2$.

Limite do quociente de sucessões convergentes

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões convergentes tais que $\lim u_n = a$, $v_n \neq 0$ e $\lim v_n = b \neq 0$, então $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ é uma sucessão convergente e $\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}$.

Exemplo

Se $u_n \to \sqrt{2}$ e $(v_n)$ é uma sucessão de termos não nulos que converge para $\sqrt{3}$, então $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ é uma sucessão convergente cujo limite é $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}= \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Limite da potência de uma sucessão

Seja $(u_n)$ é uma sucessão convergente com $\lim u_n=a$:

• Se $p \in \mathbb{Z}^+$, então $(u_n^p)$ é uma sucessão convergente e $\lim (u_n^p)=a^p$;
• Se $p \in \mathbb{Z}^-$, $u_n \neq 0$ e $\lim u_n = a \neq 0$, então $\left(u_n^p\right)$ é convergente e $\lim \left(u_n^p\right)=a^p$.

Exemplo

Se $(u_n)$ é uma sucessão que tende para $-2$, então a sucessão $(u_n^3)$ é convergente e o seu limite é $(-2)^3=-8$​.

Se $(u_n)$ é uma sucessão de termos não nulos que tende para $3$, então a sucessão $\left(u_n^{-2}\right)$ é convergente e tem limite $3^{-2}=\frac{1}{9}$​.

Limite da raiz de uma sucessão

Seja $(u_n)$ uma sucessão convergente com $\lim u_n=a$:

• ​Se $p \in \mathbb{N}$ for ímpar, então $(\sqrt[p]{u_n})$ é uma sucessão convergente e $\lim \sqrt[p]{u_n}= \sqrt[p]{a}$;
• Se $p \in \mathbb{N}$ for par e $u_n \geq 0$, então $(\sqrt[p]{u_n})$​ é uma sucessão convergente e $\lim \sqrt[p]{u_n}= \sqrt[p]{a}$​.​
  

Exemplo

Se $u_n \to 1$, então $(\sqrt[3]{u_n})$ também é uma sucessão convergente e o seu limite é $\sqrt[3]{1}=1$​.

Se $(u_n)$ é uma sucessão de termos não negativos que tende para $4$, então a sucessão $(\sqrt{u_n})$ é convergente e tem limite $\sqrt{4}=2$​.