Propriedades dos limites de sucessões

Explicação

Por vezes, é possível indicar diretamente, sem efetuar cálculos, o limite de uma sucessão que resulta de operações com sucessões de limites conhecidos.

Limites de sucessões que diferem num número finito de termos

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões que diferem num número finito de termos, então:

Se uma das sucessões é convergente, a outra também é e as sucessões têm o mesmo limite;
Se uma das sucessões tende para $\pm \infty$ , então a outra também;
Se uma das sucessões não tem limite, a outra também não.

Exemplo

Na figura abaixo, está representada a sucessão $(u_n)$ , cujos primeiros $5$ termos são $1$ e os restantes termos são $-1$ , e a sucessão $(v_n)$ , que só difere de $(u_n)$ nos seus primeiros $5$ termos (obtém-se a partir de $(u_n)$ substituindo os primeiros $5$ termos por $0$ ). Tem-se $\lim u_n = \lim v_n=-1$ .

Matemática A; Sucessões; 11º Ano; Propriedades dos limites de sucessões

Produto de uma sucessão limitada por outra de limite nulo

Se $(u_n)$ é uma sucessão limitada e $(v_n)$ é uma sucessão convergente tal que $\lim v_n=0$ , então $(u_n \times v_n)$ é uma sucessão convergente e $\lim (u_n \times v_n) = 0$ .

Exemplo

A sucessão de termo geral $u_n = \frac{\sin n}{n}$ é convergente e o limite é $0$ , porque é o produto de uma sucessão limitada (a sucessão de termo geral $v_n = \sin n$ ) por uma de limite nulo (a sucessão de termo geral $w_n=\frac{1}{n}$ ).

Limite de uma potência de $n$

Se $p \in \mathbb{Q}$ , então:

$\lim n^p = +\infty$ , se $p>0$ ;
$\lim n^p = 0$ , se $p<0$ .

Exemplo

$n^2 \to +\infty$ e $n^{-\frac{3}{2}} \to 0$ .

Nota: Se $p=0$ , então $\lim n^p = \lim n^0 = \lim 1 = 1$ .

Limite da soma de sucessões convergentes

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões convergentes, com $\lim u_n = a$ e $\lim v_n=b$ , então $(u_n+v_n)$ é uma sucessão convergente e $\lim (u_n+v_n) = a+b$ .

Exemplo

Se $u_n \to 3$ e $v_n \to -4$ , então $(u_n+v_n)$ é uma sucessão convergente e o seu limite é $3+(-4)=-1$ .

Limite do produto de sucessões convergentes

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões convergentes, com $\lim u_n=a$ e $\lim v_n=b$ , então $(u_n \times v_n)$ é uma sucessão convergente e $\lim (u_n \times v_n) = a \times b$ .

Exemplo

Se $u_n \to -2$ e $v_n \to \frac{5}{3}$ , então $(u_n \times v_n)$ é uma sucessão convergente e o seu limite é $(-2) \times \frac{5}{3}=-\frac{10}{3}$ .

Nota: Em particular, se $k$ é uma constante e $(u_n)$ é uma sucessão convergente, então $(k u_n)$ é uma sucessão convergente e $\lim (k u_n) = k \lim u_n$ .

Exemplo

A sucessão $u_n=1-\frac{1}{n}$ é convergente e o seu limite é $1$ . Por isso, a sucessão ${v_n=2-\frac{2}{n}=2\left(1-\frac{1}{n}\right)}$ também é convergente e o seu limite é $2 \times 1 =2$ .

Limite do quociente de sucessões convergentes

Se $(u_n)$ e $(v_n)$ são sucessões convergentes tais que $\lim u_n = a$ , $v_n \neq 0$ e $\lim v_n = b \neq 0$ , então $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ é uma sucessão convergente e $\lim \frac{u_n}{v_n} = \frac{a}{b}$ .

Exemplo

Se $u_n \to \sqrt{2}$ e $(v_n)$ é uma sucessão de termos não nulos que converge para $\sqrt{3}$ , então $\left(\frac{u_n}{v_n}\right)$ é uma sucessão convergente cujo limite é $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}= \frac{\sqrt{2} \times \sqrt{3}}{\sqrt{3}\times \sqrt{3}}= \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Limite da potência de uma sucessão

Seja $(u_n)$ é uma sucessão convergente com $\lim u_n=a$ :

Se $p \in \mathbb{Z}^+$ , então $(u_n^p)$ é uma sucessão convergente e $\lim (u_n^p)=a^p$ ;
Se $p \in \mathbb{Z}^-$ , $u_n \neq 0$ e $\lim u_n = a \neq 0$ , então $\left(u_n^p\right)$ é convergente e $\lim \left(u_n^p\right)=a^p$ .

Exemplo

Se $(u_n)$ é uma sucessão que tende para $-2$ , então a sucessão $(u_n^3)$ é convergente e o seu limite é $(-2)^3=-8$ .

Se $(u_n)$ é uma sucessão de termos não nulos que tende para $3$ , então a sucessão $\left(u_n^{-2}\right)$ é convergente e tem limite $3^{-2}=\frac{1}{9}$ .

Limite da raiz de uma sucessão

Seja $(u_n)$ uma sucessão convergente com $\lim u_n=a$ :

Se $p \in \mathbb{N}$ for ímpar, então $(\sqrt[p]{u_n})$ é uma sucessão convergente e $\lim \sqrt[p]{u_n}= \sqrt[p]{a}$ ;
Se $p \in \mathbb{N}$ for par e $u_n \geq 0$ , então $(\sqrt[p]{u_n})$ é uma sucessão convergente e $\lim \sqrt[p]{u_n}= \sqrt[p]{a}$ .

Exemplo

Se $u_n \to 1$ , então $(\sqrt[3]{u_n})$ também é uma sucessão convergente e o seu limite é $\sqrt[3]{1}=1$ .

Se $(u_n)$ é uma sucessão de termos não negativos que tende para $4$ , então a sucessão $(\sqrt{u_n})$ é convergente e tem limite $\sqrt{4}=2$ .