Determinação de assíntotas ao gráfico de uma função

Assíntotas verticais

Diz-se que a reta $x=a$ é uma assíntota vertical da função $f$ se pelo menos um dos limites laterais de $f$ no ponto $a$ é infinito.

Exemplo


Como $\lim \limits_{x \to -2^+} h(x)= +\infty$ , então $x=-2$ é uma assíntota vertical.	Como $\lim \limits_{x \to 0^-} g(x)= -\infty$ , então $x=0$ é uma assíntota vertical.	Como, $\lim \limits_{x \to 7^+} j(x) \neq \infty$ e $\lim \limits_{x \to 7^-} j(x) \neq \infty$ , $x=7$ não é uma assíntota vertical.

Assíntotas não verticais

Diz-se que a reta $y=mx+b$ é uma assíntota não vertical de $f$ para $+\infty$ se:

$\lim\limits_{x \to +\infty}[f(x)-(mx+b)]=0$

E diz-se que a reta $y=mx+b$ é uma assíntota não vertical de $f$ para $-\infty$ se:

$\lim\limits_{x \to -\infty}[f(x)-(mx+b)]=0$

Nota: Quando $m=0$ , tens uma assíntota horizontal, e quando $m \neq 0$ , tens uma assíntota oblíqua.

Exemplo

Considera as seguintes assíntotas não verticais.


A reta $y=4$ é uma assíntota não vertical de $f$ , em particular uma assíntota horizontal. Repara que $\lim\limits_{x \to +\infty}[f(x)-4]=0 \Leftrightarrow \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=4$ .	A assíntota apresentada é uma assíntota não vertical da função, em particular uma assíntota oblíqua, de expressão $y=x$ .

Propriedade

Seja $y=mx+b$ uma assíntota não vertical da função $f$ em $+\infty$ , então temos que:

$m=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}$
$b= \lim\limits_{x \to +\infty}[f(x)-mx]$

Exemplo

Determina a assíntota não verticais do gráfico da função $f(x)=\frac{x^2+2}{x+3}$ em $+\infty$ .

$m=\lim\limits_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{\frac{x^2+2}{x+3}}{x}\right)=\lim\limits_{x \to +\infty}\left(\frac{x^2+2}{x^2+3x}\right)=\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2(1+\frac{2}{x^2})}{x^2(1+\frac{3}{x})}\right)=1$

$b=\lim\limits_{x \to +\infty}[f(x)-mx]=\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2+2}{x+3}-x \right)=\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{x^2+2-x^2-3x}{x+3} \right)=\lim\limits_{x \to +\infty} \left(\frac{2-3x}{x+3} \right)=-3$

Então, a reta $y=x-3$ é uma assíntota não vertical do gráfico de $f$ , em específico uma assíntota oblíqua.