Mediatriz de um segmento de reta usando o produto escalar

Definição

A mediatriz é a reta que passa pelo ponto médio do segmento de reta e que lhe é perpendicular.

Exemplo

Matemática A; Vetores no plano; 11º Ano; Mediatriz de um segmento de reta usando o produto escalar

A reta $CD$ é a mediatriz do segmento de reta $[AB]$ .

Expressão da mediatriz através do produto escalar

Dados dois pontos distintos $A$ e $B$ do plano, a mediatriz do segmento de reta $\bm{[AB]}$ é o conjunto de pontos $P$ , do plano, que satisfaz a condição:

$\overrightarrow{MP}\cdot\overrightarrow{AB}=0$

sendo $M$ o ponto médio de $[AB]$ .

Nota: Qualquer vetor que pertença ao segmento de reta é perpendicular a qualquer vetor que pertença à mediatriz do segmento de reta.

Exemplo

Qual é a equação da mediatriz do segmento $[CD]$ , que tem como vetor diretor $(2,-3)$ e ponto médio $(1,-1)$ ?

Como a mediatriz é perpendicular ao segmento de reta:

$\begin{aligned}&\overrightarrow{CD}\cdot\overrightarrow{MP}=0\Harr\\\Harr& \ (2,-3)\cdot(x-1,y+1)=0\Harr\\\Harr& \ 2x-2+(-3)y-3=0\Harr\\\Harr& \ y={2\over3}x-{5\over3}\end{aligned}$ 