Extremos locais: Diferenciabilidade de uma função

Explicação

Um extremo local de uma função é um ponto com ordenada maior (máximo local) ou menor (mínimo local) do que a dos seus pontos vizinhos.

Nota: Relembra que um extremo é absoluto se for igual ou maior do que a função em todo o seu domínio, não apenas numa vizinhança do ponto.

Derivada e extremos locais

A reta tangente ao gráfico de uma função diferenciável $f$ nos pontos que são extremos locais é uma reta horizontal, ou seja, uma reta com declive zero. Como a derivada num ponto é o declive da reta tangente a $f$ nesse ponto, se $(x_0,f(x_0))$ é um extremo local de $f$ , então

$f'(x_0) = 0$

Determinar os extremos locais de uma função

Procedimento

1.	Deriva a função, obtendo $f'(x)$ .
2.	Resolve $f'(x)=0$ , obtendo as soluções $x_i$ .
3.	Analisa o gráfico da função para garantir que $(x_i,f(x_i))$ são extremos locais.

Exemplo

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Extremos locais: Diferenciabilidade de uma função

Quais os pontos onde $f(x) = x^3-3x^2-9x+27$ tem mínimos e máximos locais?

A derivada de $f$ é

$f'(x) = 3x^2-6x-9$ 

Aplicamos a fórmula resolvente para resolver a equação:

$\begin{aligned}&f'(x) = 0 \Leftrightarrow \\\Leftrightarrow \ & 3x^2-6x-9= 0 \\\Leftrightarrow \ &x= \cfrac{6\pm \sqrt{(-6)^2-4\times 3\times (-9)}}{2\times 3} \\\Leftrightarrow \ &x= \cfrac{6\pm \sqrt{144}}{6}\\\Leftrightarrow \ &x = \cfrac{6\pm 12}{6}\\\Leftrightarrow \ &x = -1 \lor x = 3\end{aligned}$

Como podes confirmar no gráfico, há um máximo local em $(1,f(-1))=(1, 32)$ e há um mínimo local em $(3,f(3))=(3, 0)$ .

Nota: Num extremo local, $f'(x)= 0$ . No entanto, há pontos com $f'(x) = 0$ que não são extremos locais!

Exemplo

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Extremos locais: Diferenciabilidade de uma função

A função $f(x)=x^3$  da figura tem derivada $f'(x) = 3x^2$ .

$f'(x) =0 \Leftrightarrow 3x^2=0 \Leftrightarrow x=0$

Como vês no gráfico, apesar de $f'(0)=0$ , o ponto $(0,0)$  não é um extremo local!

Nota: Ao ponto $(0,0)$ do exemplo anterior chama-se ponto de sela!