Superfície esférica e produto escalar

Explicação

É possível determinar a equação de uma superfície esférica aplicando o produto escalar de vetores. Considera um ponto $P$ de uma superfície esférica de diâmetro $[AB]$ :

Matemática A; Vetores no espaço; 11º Ano; Superfície esférica e produto escalar

Como se sabe que o ângulo $\hat{APB}$ é reto (por ser um ângulo inscrito numa semicircunferência), então tem-se que:

$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$

Portanto, dados dois pontos $A$ e $B$ de um plano, a superfície esférica de diâmetro $[AB]$ é o conjunto de pontos $P(x,y,z)$ do espaço que satisfazem a condição:

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} =0$

Para determinar a equação, segue os seguintes passos:

Procedimento

1.	Calcula as coordenadas dos vetores $\overrightarrow{AP}$ e $\overrightarrow{BP}$
2.	Usa essas coordenadas para escrever $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} =0$ e simplifica a expressão do primeiro membro
3.	Transforma a expressão usando o quadrado do binómio para chegares à equação reduzida da superfície esférica

Exemplo

Considera os pontos $A(-1,5,-2)$ e $B(3, 1,0)$ num referencial ortonormado $Oxyz$ . Determina a equação da superfície esférica de diâmetro $[AB]$ .

Seja $P(x,y,z)$ um ponto do espaço. Começa por calcular as coordenadas dos vetores:

$\overrightarrow{AP} =P-A=(x,y,z)-(-1,5,-2)=(x+1,y-5,z+2)\\\overrightarrow{BP} =P-B=(x,y,z)-(3,1,0)=(x-3,y-1,z)\\$

Agora, escreve $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} =0$ e simplifica:

$\begin{aligned}\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP}=0\,\, \Leftrightarrow \ &(x+1,y-5,z+2)\cdot (x-3,y-1,z)=0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&(x+1)(x-3)+(y-5)(y-1)+z(z+2)=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&(x^2-2x-3)+(y^2-6y+5)+(z^2+2z)=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&x^2+y^2+z^2-2x-6y+2z+2=0\\\end{aligned}$

E depois transforma a equação para a forma pretendida:

$\begin{aligned}&x^2+y^2+z^2-2x-6y+2z+2=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&x^2-2x+1-1+y^2-6y+9-9+z^2+2z+1-1+2=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2-9=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=9\\\end{aligned}$

A equação da superfície esférica de diâmetro $[AB]$ é $(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=9$ .