Superfície esférica e produto escalar

​​Explicação

É possível determinar a equação de uma superfície esférica aplicando o produto escalar de vetores. Considera um ponto $$P$$ de uma superfície esférica de diâmetro $$[AB]$$:

Como se sabe que o ângulo $$\hat{APB}$$ é reto (por ser um ângulo inscrito numa semicircunferência), então tem-se que:

​$$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{BP}$$​​

​

Portanto, dados dois pontos $$A$$ e $$B$$ de um plano, a superfície esférica de diâmetro $$[AB]$$ é o conjunto de pontos $$P(x,y,z)$$ do espaço que satisfazem a condição:

$$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} =0$$

Para determinar a equação, segue os seguintes passos:

Procedimento

Exemplo

Considera os pontos $$A(-1,5,-2)$$ e $$B(3, 1,0)$$ num referencial ortonormado $$Oxyz$$. Determina a equação da superfície esférica de diâmetro $$[AB]$$.

Seja $$P(x,y,z)$$ um ponto do espaço. Começa por calcular as coordenadas dos vetores:

$$\overrightarrow{AP} =P-A=(x,y,z)-(-1,5,-2)=(x+1,y-5,z+2)\\\overrightarrow{BP} =P-B=(x,y,z)-(3,1,0)=(x-3,y-1,z)\\$$

​

Agora, escreve $$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP} =0$$​ e simplifica:

$$\begin{aligned}\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{BP}=0\,\, \Leftrightarrow \ &(x+1,y-5,z+2)\cdot (x-3,y-1,z)=0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&(x+1)(x-3)+(y-5)(y-1)+z(z+2)=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&(x^2-2x-3)+(y^2-6y+5)+(z^2+2z)=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&x^2+y^2+z^2-2x-6y+2z+2=0\\\end{aligned}$$

E depois transforma a equação para a forma pretendida:

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$$\begin{aligned}&x^2+y^2+z^2-2x-6y+2z+2=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&x^2-2x+1-1+y^2-6y+9-9+z^2+2z+1-1+2=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2-9=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=9\\\end{aligned}$$

A equação da superfície esférica de diâmetro $$[AB]$$ é $$(x-1)^2+(y-3)^2+(z+1)^2=9$$.