Média de uma amostra, propriedades e desvios

Amostra

Considera uma população e uma variável quantitativa $$x$$ associada. A amostra ($$\utilde{x}$$​) é um qualquer subconjunto dessa população.

Exemplo

Pretende-se fazer um estudo sobre os alunos de 10.º ano em Portugal. Na impossibilidade de recolher dados sobre todos eles, escolhemos um conjunto representativo de alunos de 10.º ano para o fazer.

A esse conjunto de alunos chamamos amostra.

Média de uma amostra

Tem em conta uma população e uma variável quantitativa $$x$$ associada. Seja $$\utilde{x}$$ uma amostra de dimensão $$n$$, com $$n \in \N$$, então calculamos a média da amostra da seguinte forma:

​

​$$\bar{x}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i$$​​

Exemplo

Seja $$\utilde{x}$$​ a seguinte amostra de dados:

$$1, \ \ 2, \ \ 2, \ \ 2, \ \ 3, \ \ 3, \ \ 3, \ \ 3, \ \ 5$$

​​

Então, tens que a média do conjunto de dados será calculada da seguinte forma:

​$$\bar{x}=\dfrac{1}{9}\displaystyle\sum_{i=1}^9 x_i=\dfrac{1+2+2+2+3+3+3+3+5}{9}=\dfrac{8}{3}$$

Média em dados agrupados

Tem em conta uma população e uma variável estatística associada. Seja $$\utilde{x}$$​ uma amostra de dimensão $$n$$, tal que:

$$\utilde{x}= ( x_1,..., x_n )$$

Considera ainda, que dentro dos $$n$$ elementos da amostra, apenas $$m$$ elementos são distintos. O seguinte conjunto é o conjunto dos representantes de cada elemento distinto da amostra:

$$\tilde{x}=( \tilde{x_1},..., \tilde{x_m} )$$

Seja $$n_i$$ a frequência absoluta de cada $$\tilde{x}_i$$, então:

​$$\displaystyle\sum_{i=1}^m n_i=n$$ e $$\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i=\displaystyle\sum_{i=1}^m n_i\tilde{x_i}$$​​

Logo, a média em dados agrupados será dada por:

​$$\bar{x}=\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^m n_i \tilde{x_i}$$

​

Exemplo

Observa a amostra do exemplo anterior.

Tendo em conta $$\tilde{x}=(1,2,3,5)$$ e $$n_i$$ com $$i \in \{1,2,3,4 \}$$ igual à frequência absoluta de cada um dos dados distintos da amostra.​

Então, a média pode ser calculada por:

​$$\bar{x}=\dfrac{1}{9}\displaystyle\sum_{i=1}^4 \tilde{x_i}n_i=\dfrac{1 \times 1+2 \times 3+3 \times 4 +5 \times 1}{9}=\dfrac{8}{3}$$​​

​

Nota: Esta resolução é uma alternativa à do exemplo anterior, utiliza a que te for mais favorável.

Desvios em relação à média

Seja $$\utilde{x}=(x_1,...,x_n)$$ uma amostra. Denomina-se desvio de $$x_i$$ em relação à média o valor:

$$d_i=x_i- \bar{x}$$

Nota: Temos $$\displaystyle\sum_{i=1}^n d_i=0$$.

Exemplo

Tem em conta o exemplo anterior e calcula $$d_1$$.​

Soma dos quadrados dos desvios em relação à média de uma amostra

Considera uma amostra $$\utilde{x}=(x_1,...,x_n)$$. Denota-se a soma dos quadrados dos desvios em relação à média por $$SS_x$$, e calcula-se a partir da seguinte formula:

$$SS_x= \displaystyle\sum_{j=1}^n (d_j)^2=\displaystyle\sum_{j=1}^n (x_j-\bar{x})^2$$

Nota: Diz-se que $$SS_x$$  associada a uma amostra de dimensão $$n$$, tem $$n-1$$ graus de liberdade, dado que só o conhecimento do valor de $$n-1$$ desvios, permite determinar o enésimo.

Exemplo

Observa a mesma amostra dos exemplos anteriores.

Vais calcular a soma dos quadrados dos desvios. 

A média da amostra é dada por:

$$\bar{x}=\dfrac{8}{3}$$

Então,

​$$SS_x=\displaystyle\sum_{i=1}^n \left(x_j-\dfrac{8}{3} \right)^2= \left(1-\dfrac{8}{3} \right)^2+3 \times \left(2-\dfrac{8}{3} \right)^2+4 \times \left(3-\dfrac{8}{3}\right)^2+ \left(5-\dfrac{8}{3}\right)^2={=\dfrac{25}{9}+3\times\dfrac{4}{9}+4 \times \dfrac{1}{9}+\dfrac{49}{9}=10}$$

​