Estudo da monotonia de uma função

Teorema de Lagrange

Considera uma função $f$ contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $]a,b[$ , com $a<b$ . Então, existe pelo menos um ponto $c\in ]a,b[$ com

$f'(c) = \cfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$

Isto quer dizer que é sempre possível traçar uma reta tangente ao gráfico num ponto $x=c$ que seja paralela ao segmento de reta $[AB]$ , com $A$ e $B$ os pontos de abcissas $a$ e $b$ , como vês na figura:

Exemplo

Considera a parábola $f(x)=x^2$ da figura e $A=(0,0)$  e $B=(2,4)$ .

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Estudo da monotonia de uma função

O declive de $[AB]$

$\cfrac{f(2)-f(0)}{2-0} = \frac{2^2-0}{2} = \boxed{2}$

é igual à derivada da função no ponto $x=1$ :

$f'(x) = x^2 \Leftrightarrow f'(1) = 2\times 1 = \boxed{2}$

Monotonia e extremos locais

Sinal da derivada e monotonia

Considera uma função $f$ contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $]a,b[$ , com $a<b$ . Se:

$f'(x)>0\ \forall\ x \in ]a,b[$ , então $f$ é estritamente crescente em $[a,b]$ .
$f'(x)<0\ \forall\ x \in ]a,b[$ , então $f$ é estritamente decrescente em $[a,b]$ .
$f'(x)=0\ \forall\ x \in ]a,b[$ , então $f$ é constante em $[a,b]$ .

Exemplo

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Estudo da monotonia de uma função

A função $f(x) = 0{,}5 x^2 - 3$ da figura tem derivada $f'(x) = x$ .

$f'(x)=x<0$ para $x \in ]-\infty,0]$ : $f$  é estritamente crescente em $]-\infty,0]$
$f'(x)=x>0$ para $x \in [0, +\infty[$ : $f$ é estritamente decrescente em $[0, +\infty[$

Sinal da derivada e extremos locais

Se $f$ é crescente em $[a,x_0]$ e decrescente em $[x_0,b]$ , então tem um máximo local em $x_0$ .
Se $f$ é decrescente em $[a,x_0]$ e crescente em $[x_0,b]$ , então tem um mínimo local em $x_0$ .

Exemplo

No exemplo anterior, a função tem um mínimo local (e também absoluto!) em $x=0$ .

Tabela de variação

Podes construir uma tabela de variação para determinar a monotonia e os extremos de uma função.

Procedimento

1.	Calcula $f'$ .
2.	Descobre os zeros de $f'$ .
3.	Determina onde $f'$ é positiva e negativa.
4.	Constrói uma tabela de variação como a seguinte:

$x$	$-\infty$	$0$		$6$	$+\infty$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$\text{máx.}$	$\searrow$	$\text{mín.}$	$\nearrow$

Legenda: Os zeros de $f'$ são $0$ e $6$ . A seta para cima/baixo ocorre quando $f'$ é positiva/negativa e indica que $f$ é crescente/decrescente nesse intervalo.

Exemplo

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Estudo da monotonia de uma função

Caracteriza a monotonia e extremos locais da função $f(x) = x^3-3x^2-9x+27$ que vês na imagem. A derivada de $f$ é

$f'(x) = 3x^2-6x-9$ 

Aplica a fórmula resolvente para obter os zeros da derivada:

$\begin{aligned}& f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3x^2-6x-9= 0 \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\ & x = \cfrac{6\pm \sqrt{(-6)^2-4\times 3\times (-9)}}{2\times 3} \Leftrightarrow \\ \Leftrightarrow\ & x = \cfrac{6\pm \sqrt{144}}{6}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow\ & x= \cfrac{6\pm 12}{6}\Leftrightarrow \\\Leftrightarrow\ & x = -1 \lor x = 3\end{aligned}$

A função $f'$ é a parábola virada para cima com zeros em $x=-1$ e $x=3$ que vês na figura abaixo.

Matemática A; Monotonia, extremos e concavidade; 11º Ano; Estudo da monotonia de uma função

Agora, podes construir a tabela de variação de $f$ :

$x$	$-\infty$	$-1$		$3$	$+\infty$
$f'(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	$32$ (máx. local)	$\searrow$	$0$ (mín. local)	$\nearrow$

Com base na tabela, $f$ é crescente em $]-\infty,-1] \cup [3,+\infty[$ , decrescente em $[-1,3]$ , tem um máximo local em $(-1,32)$ e um mínimo local em $(3,0)$ . Podes confirmar que isto é verdade no gráfico de $f$ !