Função tangente e as suas características

Explicação

A função tangente faz corresponder a cada número real $x$ um e um só número real $y = \tan x= \sin x / \cos x$ , ou seja, é uma função real de variável real. Habitualmente, o argumento $x$ é um ângulo generalizado em radianos.

Matemática A; Trigonometria; 11º Ano; Função tangente e as suas características

Nota: Repara que $\tan x$ não é uma função contínua, é estritamente crescente e, enquanto $\sin x$ e $\cos x$ se repetem de $2\pi$ em $2\pi$ , $\tan x$ repete-se de $\pi$ em $\pi$ .

Domínio	$\mathbb{R} \backslash \left\{ x:x=\dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$
Contradomínio	$]-\infty,\infty[ = \mathbb{R}$
Periodicidade	função periódica, com período positivo mínimo ou fundamental $\pi$ , ou seja, $\tan(x + k\pi) = \tan x$ para $k \in \mathbb{Z}$
Zeros	$\tan\ x=0 \Leftrightarrow x = k\pi,k\in\mathbb{Z}$
Paridade	função ímpar, ou seja, $\tan(-x) = \tan x, \ \forall x \in \mathbb{R} \backslash \left\{ \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}$

Exemplo

Com base nas propriedades de $\cos x$ , é possível caracterizar transformações gráficas de $\cos x$ , como $f(x)=\tan\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right)$ .

Matemática A; Trigonometria; 11º Ano; Função tangente e as suas características

O contradomínio e período $f(x)$ são os mesmos que os de $\tan(x)$ , pois não são afetados por uma translação horizontal de $\dfrac{\pi}{2}$ .

Domínio: $\mathbb{R} \backslash \left\{ x : x - \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}= \boxed{\mathbb{R} \backslash \left\{ x : x = k\pi, k \in \mathbb{Z}\right\}}$

Zeros: $\begin{aligned}\tan\left(x-\dfrac{\pi}{2}\right) = 0 &\Leftrightarrow x-\dfrac{\pi}{2} = k\pi,k\in\mathbb{Z} \Leftrightarrow \boxed{x =\frac{\pi}{2} + k\pi,k\in\mathbb{Z}}\end{aligned}$ 

Paridade: a função não é par nem ímpar $f(-x) = \tan(-x-\dfrac{\pi}{2}) = -\tan(x+\dfrac{\pi}{2}) \neq f(x) \neq -f(x)$

Função inversa: arco-tangente

Como $\tan x$ não é injetiva, não tem inversa. Mas a sua restrição a $x\in\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[$

$\begin{aligned}f: \left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[ & \longrightarrow \mathbb{R} \\x &\longmapsto \tan x\end{aligned}$

é bijetiva e, por isso, tem uma função inversa chamada arco-tangente

$\begin{aligned}f^{-1}: \mathbb{R}& \longrightarrow \left] -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right[ \\x &\longmapsto \arctan x\end{aligned}$

que respeita $\arctan x = y \Leftrightarrow x = \tan y$ .

Matemática A; Trigonometria; 11º Ano; Função tangente e as suas características

Exemplo

Vamos calcular a função inversa da função $f(x)=\tan\left(x -\dfrac{\pi}{2}\right)$ do exemplo anterior. Começamos por inverter a função:

$y=\tan\left(x - \dfrac{\pi}{2}\right) \Leftrightarrow \arctan y = x -\dfrac{\pi}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{2} + \arctan y$ 

O contradomínio é: $\left] -\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} \right[ + \dfrac{\pi}{2} = \left] 0,\pi \right[$  .

Por fim, a função inversa é:

$\boxed{\begin{aligned}f^{-1}: \mathbb{R}& \longrightarrow \left] 0, \pi \right[ \\x &\longmapsto \dfrac{\pi}{2} + \arctan x\end{aligned}}$