Reta de mínimos quadrados: Determinação

Definição

Dada uma nuvem de pontos definida pela sequência

$$(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),...\ ,P_n(x_n,y_n))\ , n\in \N$$, 

num referencial ortonormado do plano, a reta $$t$$​ de equação

 $$y=ax+b$$​, em que $$a=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\overline{x}\ \overline{y}}{SS_x}$$​ e $$b=\overline{y}-a\overline{x}$$​, 

é uma reta de ajuste de dados denominada reta de mínimos quadrados.

Nota: Para esta definição fazer sentido, não pode haver uma reta vertical que passe por todos os pontos da nuvem.​

Desvio vertical

Dado uma sequência de pontos no plano $$(P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2),...,P_n(x_n,y_n))$$, designa-se desvio vertical do ponto $$P_i(x_i, y_i)$$​​ em relação à reta $$t$$ (e denota-se por $$e_i$$) a diferença das ordenadas entre o ponto $$P_i(x_i,y_i)$$ e o ponto da reta $$t$$ que tem abcissa $$x_i$$. Se a reta $$t$$ tiver equação $$y=ax+b$$, a ordenada deste segundo ponto é $$y=ax_i+b$$. Assim,

$$e_i=y_i-ax_i-b, i\in \lbrace 1,2,...\ ,n \rbrace$$​​

Nota: Se $$b=\overline{y}-a\overline{x}$$, então $$\displaystyle\sum_{i=1}^n e_i=0$$.​

Exemplo

Sejam $$a=2, b=4, c=6, d=8, e=10$$ e $$f=12$$ e $$t$$ a reta de equação $$y=x$$.

$$e_1, e_2, e_3, e_4$$ e $$e_5$$ são as diferenças entre as ordenadas de $$A, B, C, D$$ e $$E$$ e dos pontos de abcissa correspondente na reta $$t$$:

​$$\begin{aligned}&e_1=10-3=7 \\& e_2=8-6=2 \\& e_3=4-8=-4\\& e_4=12-9=3 \\& e_5=6-12=-6 \end{aligned}$$​

​

Minimização dos desvios verticais

A reta de mínimos quadrados de uma nuvem de pontos é a reta para a qual a soma dos quadrados dos desvios verticais dos pontos à reta é mínima.

Tendo em conta os gráficos abaixo, é possível notar que o ajuste da reta de mínimos quadrados faz sentido para as nuvens de pontos A e C, pois é possível visualizar uma reta onde os pontos se concentram, mas o mesmo não se verifica para a nuvem B.

A	B	C

​

Exemplo

Considera num referencial ortogonal do plano, os pontos $$A(5,1), B(2,3)$$​ e $$C(4,2)$$​ e as amostras $$\utilde{x}=(5,2,4)$$ e $$\utilde{y}=(1,3,2)$$. Determina a reta de mínimos quadrados.

Ora, sabe-se que uma reta de mínimos quadrados é do tipo $$y=ax+b$$, sendo necessário calcular $$a$$ e $$b$$.

Como $$a=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\overline{x}\ \overline{y}}{SS_x}$$, calcula-se $$\overline{x},\ \overline{y},\ \displaystyle\sum_{i=1}^n x_iy_i$$ e $$SS_x$$.

Temos $$\overline{x}=\dfrac{5+2+4}{3}=\dfrac{11}{3}$$ e $$\overline{y}=\dfrac{1+3+2}{3}=\dfrac{6}{3}=2$$, pelo que:​

 $$\displaystyle\sum_{i=1}^n x_iy_i-n\overline{x}\ \overline{y}=\displaystyle\sum_{i=1}^3 x_iy_i-3\overline{x}\ \overline{y}=5\times1+2\times3+4\times2-3\times\dfrac{11}{3}\times2=19-22=-3$$ 

e 

 $$SS_x=\displaystyle\sum_{i=1}^3 x_i^2-3\overline{x}^2=25+4+16-3\times\left(\dfrac{11}{3}\right)^2=45-\dfrac{121}{3}=\dfrac{14}{3}$$.​

Logo, $$a=\dfrac{-3}{\dfrac{14}{3}}=-\dfrac{9}{14}$$​.

Assim, $$b=\overline{y}-a\overline{x}=2+\dfrac{9}{14}\times\dfrac{11}{3}=2-\dfrac{33}{7}=-\dfrac{5}{14}$$.

Desta forma, a reta de mínimos quadrados é a reta de equação $$y=-\dfrac{9}{14}x-\dfrac{5}{14}$$.​