Cálculo do limite de uma função num ponto

​​Definição segundo Heine

Seja $$f$$ uma função real de variável real, $$a$$​ um ponto aderente ao seu domínio e $${b \in \R }$$ ou $$b=\pm \infty$$​.

Temos que, $$\lim\nolimits_{x\to \ a} f(x)=b$$ se e só se $$f(x_n) \to b$$ para qualquer função $$x_n$$ pertencente ao domínio de $$f$$ com $$x_n \to a$$.

Nota: O limite de uma função num ponto ou é único, ou não existe.

Cálculo do limite de uma função pela definição

​​Procedimento

Exemplo

Mostra, utilizando a definição de limite, que $$\lim\nolimits_{x\to \ 2} f(x)=b$$ com $$f(x)=\frac{3x^2-2}{x}$$.

1. Ver se $$a$$​ pertence à aderência do domínio de $$f$$​.​
O domínio de $$f$$ é $$\R\backslash \{0 \}$$, logo como $$2$$ pertence ao domínio irá pertencer à aderência.

2. Considerar uma sucessão  $$x_n$$​ qualquer com $$x_n \in D_f, \forall n\in \N$$​ e $$x_n \to a$$​.​

Seja $$x_n \in D_f, \forall n\in \N$$ e $$x_n \to 2$$

3. Calcular $$\lim f(x_n)$$.​

$$\lim f(x_n)= \lim \left( \frac{3(x_n)^2-2}{x_n}\right)= \frac{3(\lim x_n)^2-2}{\lim x_n}=\frac{3 \times (2)^2-2}{2}=5$$

4. Concluir o valor de $$\lim\nolimits_{x\to \ a} f(x)$$.
$$\lim\limits_{x\to \ 2} f(x)=b=5$$​​

​

Limites laterais

Seja $$f$$ uma função real de variável real e $$a$$ um ponto aderente ao domínio. 

Chamamos limite de $$f(x)$$ à direita de $$a$$, ao limite da função quando a função tende para $$a$$ segundo valores maiores que $$a$$, e denotamos por $$\lim\nolimits_{x\to \ a^+} f(x)$$. 

Chamamos limite de $$f(x)$$ à esquerda de $$a$$​​, ao limite da função quando a função tende para $$a$$ segundo valores menores que $$a$$, e denotamos por $$\lim\nolimits_{x\to \ a^-} f(x)$$​.

Exemplo

Considera a seguinte figura.

Temos que, $$\lim\limits_{x\to \ 4^+} f(x)=6$$ e $$\lim\limits_{x\to \ 4^-} f(x)=1$$.​

Existência de limite

Seja $$f$$​ uma função real de variável real e $$a$$​ um ponto pertencente ao domínio. Se $$\lim\nolimits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\nolimits_{x\to \ a^-} f(x)=f(a)=b$$ então $$\lim\nolimits_{x\to \ a} f(x)=b$$​​

Seja $$f$$ uma função real de variável real e $$a$$ um ponto pertencente à aderência mas não ao domínio. ​Se $$\lim\nolimits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\nolimits_{x\to \ a^-} f(x)=b$$​ então $$\lim_{x\rightarrow a} f(x)=b$$.
​
Exemplo

$$\boldsymbol{a\in D_f}$$​
Como $${\lim\limits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\limits_{x\to \ a^-} f(x)=f(a)=b }$$ então $$\lim\limits_{x\to \ a} f(x)=b$$	Não existe limite porque $${\lim\limits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\limits_{x\to \ a^-} f(x) \neq f(a) }$$
​$$\boldsymbol{a\notin D_f}$$​​
​Como $${\lim\limits_{x\to \ a^+} f(x)=\lim\limits_{x\to \ a^-} f(x)=b }$$​, então $$\lim\limits_{x\to \ a} f(x)=b$$	​Não existe limite porque $${\lim\limits_{x\to \ a^+} f(x) \neq \lim\limits_{x\to \ a^-} f(x)}$$​