Reta tangente a uma circunferência usando o produto escalar

Explicação

É possível determinar a equação de uma reta tangente a circunferência aplicando o produto escalar de vetores. Considera um ponto $P$ pertencente a uma reta tangente no ponto $A$ a uma circunferência de centro $C$ :

Matemática A; Vetores no plano; 11º Ano; Reta tangente a uma circunferência usando o produto escalar

Como a reta é tangente à circunferência, sabe-se que o ângulo $C\hat{A}P$ é reto, e tem-se que:

$\overrightarrow{AP} \perp \overrightarrow{AC}$

Portanto, dados dois pontos $A$ e $C$ de um plano, a reta tangente à circunferência de centro $C$ no ponto $A$ é o conjunto de pontos $P(x,y)$ do plano que satisfazem a condição:

$\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} =0$

Para determinar a equação, segue os seguintes passos:

Procedimento

1.	Calcula as coordenadas dos vetores $\overrightarrow{AP}$ e $\overrightarrow{AC}$
2.	Usa essas coordenadas para escrever $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} =0$ e simplifica a expressão do primeiro membro
3.	Transforma a expressão para chegares à equação reduzida da reta

Exemplo

Considera os pontos $A(-1,5)$ e $C(3, 1)$ de um plano ortonormado $xOy$ . Determina a equação da reta tangente à circunferência de centro $C$ e raio $\lVert\overrightarrow{CA}\rVert=4\sqrt{2}$ , no ponto $A$ .

Seja $P(x,y)$ um ponto do plano. Começa por calcular as coordenadas dos vetores:

$\overrightarrow{AP} =P-A=(x,y)-(-1,5)=(x+1,y-5)\\\overrightarrow{AC} =C-A=(3,1)-(-1,5)=(4,-4)\\$

Agora, escreve $\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC} =0$ e simplifica:

$\begin{aligned}\overrightarrow{AP} \cdot \overrightarrow{AC}=0\,\, \Leftrightarrow \ &(x+1,y-5)\cdot (4,-4)=0 \Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&4(x+1)-4(y-5)=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&4x+4-4y+20=0\end{aligned}$

E depois transforma a equação para a forma pretendida:

$\begin{aligned}&4x+4-4y+20=0\Leftrightarrow\\\Leftrightarrow\,\,&-4y=-4x-24=0\\\Leftrightarrow\ \ &y=x+6\end{aligned}$

A equação da reta tangente à circunferência de centro $C$ no ponto $A$ é $y=x+6$ .