Limites infinitos: Cálculo de operações

Explicação

As propriedades dos limites (soma, produto, quociente e potência) estendem-se ao caso de sucessões que tendem para $\pm \infty$ .

Soma de limites infinitos

A soma de uma sucessão convergente (para $a$ ) com uma sucessão que tende para $\pm \infty$ é uma sucessão que tende para $\pm \infty$ . Escrevemos simbolicamente que $(+\infty)+a=+\infty$ e $(-\infty)+a=-\infty$ .

Exemplo

$(2n) \to +\infty$

$\dfrac{1}{n} \to 0$

$\left(2n + \dfrac{1}{n}\right) \to +\infty$

A soma de sucessões que tendem para $+\infty$ é uma sucessão que tende para $+\infty$ e a soma de sucessões que tendem para $-\infty$ é uma sucessão que tende para $-\infty$ . Simbolicamente, $(+\infty)+(+\infty)=+\infty$ e $(-\infty)+(-\infty)=-\infty$ .

Exemplo

$(-2n+1) \to -\infty$

$(-n-5) \to -\infty$

$(-3n-4) \to -\infty$

Produto de limites infinitos

O produto de uma sucessão convergente com limite diferente de $0$ por uma sucessão que tende para $\pm \infty$ é uma sucessão que tende para $\infty$ , com o sinal dado pela regra usual dos sinais para o produto. Simbolicamente, escreve-se:

$(+\infty) \times a = +\infty, a>0$
$(+\infty) \times a = -\infty, a<0$
$(-\infty) \times a = -\infty, a>0$
$(-\infty) \times a = +\infty, a<0$

Exemplo

$(-2n) \to -\infty$

$4 \to 4$

$(-8n) \to -\infty$

O produto de sucessões que tendem para $\pm \infty$ é uma sucessão que tende para $\infty$ , com o sinal dado pela regra usual dos sinais para o produto. Simbolicamente, escreve-se:

$(+\infty) \times (+\infty) = +\infty$
$(-\infty) \times (-\infty) = +\infty$
$(+\infty) \times (-\infty) = -\infty$

Exemplo

$n \to +\infty$

$(-n) \to -\infty$

$(-n^2) \to -\infty$

Quociente de limites infinitos

Se $u_n \to 0$ e $\exists p \in \mathbb{N}: n> p \implies u_n>0$ , diz-se que $(u_n)$ tende para $0$ por valores positivos, e escreve-se simbolicamente $u_n \to 0^+.$

Se $u_n \to 0$ e $\exists p \in \mathbb{N}: n> p \implies u_n<0$ , diz-se que $(u_n)$ tende para $0$ por valores negativos, e escreve-se simbolicamente $u_n \to 0^-$ .

Seja $(u_n)$ uma sucessão de termos não nulos:

$\lim u_n$	$\lim \frac{1}{u_n}$	Escrita simbólica	Exemplo
$0^+$	$+\infty$	$\dfrac{1}{0^+}=+\infty$	$\dfrac{1}{n} \to 0^+$ $\lim \dfrac{1}{\frac{1}{n}} = \lim n = +\infty$
$0^-$	$-\infty$	$\dfrac{1}{0^-}=-\infty$	$-\dfrac{1}{n} \to 0^-$ $\lim \dfrac{1}{-\frac{1}{n}}=\lim (-n) = -\infty$
$\pm \infty$	$0$	$\dfrac{1}{\infty}=0$	$n \to +\infty$ $\frac{1}{n} \to 0$

Potências e raízes de sucessões com limites infinitos

Se $u_n \geq 0$ para todo o $n\in \N$ , o $\lim u_n = +\infty$ e $r \in \mathbb{Q}^+$ , então $\lim u_n^r = +\infty$ . Simbolicamente, escreve-se $(+\infty)^r=+\infty$ , para $r \in \mathbb{Q}^+$ .

Exemplo

 $n \to +\infty$ e $n^2 \to +\infty$ .

Agora, quando temos uma sucessão que tende para $-\infty$ e queremos calcular o limite de uma potência da sucessão, temos de ter atenção à paridade do expoente:

$\lim u_n$	$r \in \mathbb{N}$	Escrita simbólica	Exemplo
$-\infty$	$r$ par	$(-\infty)^r=+\infty$ ( $r$ natural par)	$-2n \to -\infty$ $\lim (-2n)^2 = \lim (4n^2) = +\infty$
$-\infty$	$r$ ímpar	$(-\infty)^r=-\infty$ ( $r$ natural ímpar)	$-2n \to -\infty$ $\lim (-2n)^3 = \lim (-8n^3) = -\infty$

Quando temos uma sucessão do tipo $a^n$ com $a\in \R^+$ , o seu limite depende no valor do base:

Base	$\lim a^n$	Escrita simbólica	Exemplo
$0<a<1$	$0$	$a^{+\infty}=0$ ( $0<a<1$ )	$\left(\dfrac{1}{2}\right)^n \to 0$
$a>1$	$+\infty$	$a^{+\infty}=+\infty$ ( $a>1$ )	$2^n \to +\infty$

Nota: Se $a=1$ , tem-se $\lim a^n = \lim 1^n = \lim 1 = 1$ .

Por fim, dada uma sucessão $(u_n)$ tal que $u_n \to -\infty$ e $p \in \mathbb{N}$ , um número ímpar, então $\lim \sqrt[p]{u_n} = -\infty$ . Simbolicamente, escreve-se $\sqrt[p]{-\infty}=-\infty$ , para $p \in \mathbb{N}$ ímpar.

Exemplo

$-n^3 \to -\infty$ e $\lim \sqrt[3]{-n^3} = \lim (-n) = -\infty$ .

Soma de todos os termos de uma progressão geométrica

Recorda que a soma dos primeiros $N$ termos de uma progressão geométrica $(u_n)_{n\in \N}$ de razão $r$ é dada pela expressão

$S_N=u_1 \times \dfrac{1-r^N}{1-r}$

Podemos calcular este valor para cada $N\in \N$ e, assim, obtemos uma sucessão $(S_N)_{n\in \N}$ , que designamos por sucessão das somas parciais. A sucessão $(S_N)_{N\in \N}$ é convergente se e só se $\boxed{-1<r<1}$ . Nesse caso, tem-se:

$\lim\limits_{N\to \infty} S_N = \dfrac{u_1}{1-r}\hspace{10mm}(-1<r<1)$

Chamamos a este limite a soma dos termos da sucessão $(u_n)$ .

Exemplo

A sucessão de termo geral $u_n= 2 \times \left(\dfrac{1}{3}\right)^n$ é uma progressão geométrica de razão $r=\dfrac{1}{3}$ e por isso a sucessão das suas somas parciais é convergente. Como o seu primeiro termo é $u_1=2 \times \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$ , a soma de todos os termos da sucessão $(u_n)$ é

$S = \lim S_N= \dfrac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\dfrac{\frac{2}{3}}{\frac{2}{3}}=1$

Limite da sucessão $n \mapsto \sqrt[n]{a}$

Se $a$ é um número real positivo, então $\sqrt[n]{a} \to 1$ .

Exemplo

$\lim \sqrt[n]{\dfrac{1}{2}} = 1$ .