Coeficiente de correlação linear de dados bivariados

Explicação

O coeficiente de correlação linear é o que permite avaliar a precisão da reta de mínimos quadrados numa nuvem de pontos.

Sendo $$n$$ um número natural e $$\utilde{(x,y)}$$ uma amostra de dados bivariados, o coeficiente de correlação linear representa-se por

$$r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{SS_xSS_y}}$$ ou ainda $$r=a\sqrt{\dfrac{SS_x}{SS_y}}$$, 

sendo $$a$$ o declive da reta de mínimos quadrados.

A partir desta segunda representação, é possível concluir que, como $$r$$ é proporcional a $$a$$ e $$\sqrt{\dfrac{SS_x}{SS_y}}>0$$, $$r$$​ e $$a$$ têm o mesmo sinal. Desta forma, se $$r>0$$, a associação linear entre as variáveis estatísticas é positiva, assim como passa a ser negativa se $$r<0$$. As variáveis consideram-se independentes se $$r=0$$.

​$$r>0$$​​	​$$r<0$$​​

​

Tem-se sempre que $$|r|\leqslant 1$$. A associação linear entre variáveis estatísticas é tanto mais forte quanto mais perto de $$1$$ estiver $$|r|$$. Nos casos extremos de $$r=1$$ ou $$r=-1$$, os pontos da nuvem estão todos alinhados.​

Exemplo

Considera as amostras $$\utilde{x}=(1,2,3,6)$$ e $$\utilde{y}=(4,6,7,7)$$. Calcula o coeficiente de correlação linear, $$r$$, e diz se a associação linear entre as variáveis estatísticas é forte ou fraca.

Ora, podes calcular $$r$$ neste exercício utilizando a expressão

 $$r=\dfrac{\displaystyle\sum_{i=1}^n(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})}{\sqrt{SS_xSS_y}}$$ 

As médias são $$\overline{x}=\dfrac{1+2+3+6}{4}=\dfrac{12}{4}=3$$ e $$\overline{y}=\dfrac{4+6+7+7}{4}=\dfrac{24}{4}=6$$.

Temos também

​

 $$\begin{aligned}&\displaystyle\sum_{i=1}^4(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y}) =(1-3)(4-6)+(2-3)(6-6)+(3-3)(7-6)+(6-3)(7-6)=7\\& SS_x=\displaystyle\sum_{i=1}^4 x_i^2-4\overline{x}^2=1^2+2^2+3^2+6^2-4\times3^2=50-36=14\\&SS_y=\displaystyle\sum_{i=1}^4 y_i^2-4\overline{y}^2=4^2+6^2+7^2+7^2-4\times6^2=150-144=6\end{aligned}$$​ 

Assim, ​$$r=\dfrac{7}{\sqrt{14\times6}}=\dfrac{7}{\sqrt{84}}=\dfrac{7}{2\sqrt{21}}\approx0{,}76$$.

Concluis que o valor pedido é $$r=0{,}76$$ e a associação entre as variáveis não é muito forte, uma vez que o coeficiente de correlação ainda está longe de $$1$$.