Conceito de ângulo orientado e de ângulos generalizados

Ângulo orientado

Um ângulo definido entre um lado origem (fixo) e um lado extremidade (que se desloca com a terminação do ângulo) diz-se orientado. O seu sinal é positivo se o lado extremidade se move no sentido anti-horário, e negativo se se desloca no sentido horário.

Nota: Para $0\degree$ e outros correspondentes, tais como $360\degree$ , consideram-se o lado origem e o lado extremidade coincidentes.

Exemplo

Dado um triângulo $[ABC]$ , equilátero, centrado em $O$ e circunscrito a uma circunferência centrada também em $O$ , qual o lado extremidade do ângulo orientado:
- De lado origem $OC$ e $120\degree$ ;
- De lado origem $OC$ e $-240\degree$ .

Matemática A; Trigonometria; 11º Ano; Conceito de ângulo orientado e de ângulos generalizados

Como o triângulo $[ABC]$ é equilátero, os seus ângulos internos serão todos iguais ( $60\degree$ , em concreto), o que implica que $AÔB = BÔC = CÔA = 120\degree$ . Assim, o ângulo de origem $OC$ e $120\degree$ tem extremo $\boxed{OB}$ , e o ângulo de origem $OC$ e $-240\degree$ tem extremo $\boxed{OB}$ , também (apesar do sentido oposto).

Ângulo generalizado

Ângulo generalizado é um par ordenado do tipo $(\alpha,n)$ , no qual $\alpha \in ]-360\degree, 360\degree[$ é a amplitude do ângulo correspondente e $n \in \mathbb{Z}$ o número de voltas completas.

Exemplo

Repara que os ângulos $360\degree$ e $720\degree$ , desenhados, se sobrepõem.

A diferença importante entre eles é que $360\degree$ só representa uma volta completa (ou inteira), e $720\degree$ representa duas. Isto torna-se mais claro se os passarmos a ângulos generalizadas, ficando, respetivamente, $(0\degree,1)$ , e $(0\degree,2)$ .

Matemática A; Trigonometria; 11º Ano; Conceito de ângulo orientado e de ângulos generalizados

PROCEDIMENTO

1.	Dividir a amplitude do ângulo por $360$
2.	Usar o quociente como $n$
3.	Usar o resto como $\alpha$
4.	Reescrever o ângulo na forma $(\alpha,n)$

Exemplo

Dados os ângulos, $1085\degree$ , $480\degree$ , e $-540\degree$ , reescreve-os como ângulos generalizados.

\dfrac{1085\degree }{360\degree} = \dfrac{1080\degree + 5\degree}{360\degree} = 3 + \dfrac{5\degree}{360\degree}

, ou seja

1085\degree = \boxed{(5\degree,3) }

\dfrac{480\degree }{360\degree} = \dfrac{360\degree + 120\degree}{360\degree} = 1 + \dfrac{120\degree}{360\degree}

, ou seja,

480\degree = \boxed{(120\degree,1)}

\dfrac{-540\degree }{360\degree} = \dfrac{-360\degree - 180\degree}{360\degree} = -1 + \dfrac{-180\degree}{360\degree}

, ou seja,

-540\degree = \boxed{(-180\degree,-1)}